在单位被员工打伤，通过劳动仲裁主张赔偿需分情况处理，核心结论如下：

1. 若打伤行为属于工作原因引发（如因工作分歧、执行职务冲突等）

   • 可主张工伤赔偿：根据《工伤保险条例》第14条，因工作原因受到事故伤害的应认定为工伤。您需在受伤后30日内由单位申请工伤认定（单位未申请的，您可在1年内自行申请），经认定为工伤后，可享受医疗费、停工留薪期工资、伤残补助金（若构成伤残）等赔偿。
     
   • 同时可主张人身损害赔偿：若员工行为构成故意或重大过失，您可依据《民法典》第1192条，要求员工承担侵权责任（如医疗费、护理费、误工费等）。若单位未尽到安全管理义务（如未及时制止冲突、未提供安全环境），单位可能需承担补充责任。

2. 若打伤行为与工作无关（如私人恩怨、寻衅滋事等）

   • 劳动仲裁不直接处理：此类纠纷属于民事侵权，需通过民事诉讼途径解决。您可直接向法院起诉打人员工，要求赔偿医疗费、误工费、精神损害抚慰金等。
     
   • 单位责任需单独主张：若单位存在过错（如明知员工有暴力倾向仍安排共事、未及时报警等），可依据《民法典》第1165条要求单位承担相应赔偿责任，但需举证单位过错与损害结果的因果关系。

关键提醒：

• 劳动仲裁主要处理劳动关系相关的争议（如工资、工伤、解除合同等），人身损害赔偿通常需通过民事诉讼解决，但工伤赔偿与侵权赔偿可“双轨主张”（需注意赔偿项目是否重复）。
  
• 建议您立即报警并保留证据（如监控录像、证人证言、医疗记录等），同时向单位书面反映情况，固定单位是否履责的证据。
  

如有进一步细节（如是否构成伤残、单位是否配合等），可直接向我咨询，我会结合具体情形为您分析赔偿路径。