结论概述：在企业非法解除劳动关系期间员工生病，员工可以依法主张自己的权益，包括要求继续履行劳动合同、获得违法解除赔偿金以及享受医疗期内的相关待遇。以下是对此问题的详细分析：
一、企业非法解除劳动关系的认定与后果
非法解除的认定：
- 企业非法解除劳动关系，通常指的是企业未按照《劳动合同法》的规定，无正当理由或未履行法定程序而单方面解除与员工的劳动合同。
非法解除的后果：
- 根据《劳动合同法》第四十八条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；
- 劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金，即按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
二、员工生病期间的权益保障
医疗期的规定：
- 根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，企业职工因患病或非因工负伤，需要停止工作医疗时，根据本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予三个月到二十四个月的医疗期。
- 在医疗期内，企业不得随意解除劳动合同，且应按照规定支付员工病假工资或疾病救济费。
非法解除与生病期间的叠加权益：
- 若企业在员工医疗期内非法解除劳动合同，员工不仅可以要求继续履行劳动合同（如果可能且员工愿意），还可以同时主张违法解除的赔偿金以及医疗期内的病假工资或疾病救济费。
- 如果员工不要求继续履行劳动合同或劳动合同已不能继续履行，员工则有权要求企业支付违法解除的赔偿金，并确保医疗期内的相关待遇得到落实。
三、具体行动建议
收集证据：
- 员工应收集与非法解除相关的证据，如解除劳动合同的通知、工资单、考勤记录、医疗证明等，以证明企业的违法行为和自己的损失。
协商与调解：
- 在提起法律诉讼前，员工可以尝试与企业进行协商或寻求劳动调解机构的帮助，以达成和解或调解协议。
法律途径：
- 如果协商或调解无果，员工可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼，依法维护自己的合法权益。
进一步思考：在处理此类纠纷时，员工应充分了解自己的权益和法律途径，积极收集证据，并在必要时寻求专业法律帮助。同时，企业也应遵守法律法规，尊重员工的合法权益，避免非法解除劳动关系等违法行为的发生。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。