结论前置：肇事逃逸被拘留，公司是否可以开除员工需分情况讨论，主要取决于逃逸行为的性质、造成的后果以及公司规章制度的规定。以下从不同角度进行分析：
若肇事逃逸构成犯罪：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，劳动者被依法追究刑事责任的，用人单位可以解除劳动合同。肇事逃逸如果构成交通肇事罪或其他犯罪，并被法院判决有罪，那么公司有权依据此条款开除员工，且无需支付经济补偿。
- 在这种情况下，公司应确保有充分的证据证明员工已被依法追究刑事责任，如法院的判决书等，以便在开除员工时提供合法依据。
若肇事逃逸未构成犯罪，但违反公司规章制度：
- 如果肇事逃逸行为虽然未构成犯罪，但严重违反了公司的规章制度，如公司明确规定肇事逃逸属于严重违纪行为，那么公司也有权依据规章制度开除员工。
- 在这种情况下，公司应确保规章制度已经过民主程序制定，并向员工公示或告知，以便在开除员工时能够证明其行为的合法性和合理性。
若肇事逃逸既未构成犯罪，也未违反公司规章制度：
- 如果肇事逃逸行为既未构成犯罪，也未严重违反公司的规章制度，那么公司开除员工可能缺乏法律依据，员工有权要求公司继续履行劳动合同或支付违法解除劳动合同的赔偿金。
- 在这种情况下，公司应谨慎处理，避免因违法解除劳动合同而承担法律责任。
处理建议：
- 对于公司而言，在处理肇事逃逸员工时，应首先了解逃逸行为的性质、造成的后果以及公司规章制度的规定，确保开除决定有充分的法律依据。
- 同时，公司应与员工进行充分沟通，解释开除决定的原因和依据，以减少劳动争议的发生。
- 如果员工对开除决定有异议，公司应积极应对劳动争议，提供必要的证据和法律依据，以维护公司的合法权益。
额外提醒：肇事逃逸不仅可能面临法律责任，还可能对个人声誉和职业生涯造成严重影响。因此，建议员工在发生交通事故后，应积极配合调查，承担应有的责任，避免逃逸行为的发生。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。