针对您提出的“私人单位孕妇产后不交社保是否合法”的问题，我们可以从以下几个方面进行详细解答：

首先，根据《中华人民共和国社会保险法》的相关规定，用人单位必须依法为劳动者缴纳社会保险费，这包括基本养老保险、医疗保险、失业保险、工伤保险和生育保险等。这一规定是强制性的，不因用人单位的性质（如私人单位或国有单位）而有所区别。

对于孕妇这一特殊群体，她们在孕期、产期和哺乳期（简称“三期”）内，依法享有特殊的劳动保护权益。这包括但不限于：用人单位不得因女职工怀孕、生育、哺乳而降低其工资、予以辞退、与其解除劳动或者聘用合同。同时，女职工在“三期”内，用人单位也应当继续为其缴纳社会保险费，确保其享受相应的社会保障待遇。

现在，我们具体到您的问题上。如果私人单位在孕妇产后不为其缴纳社会保险费，这一行为显然是违法的。它不仅违反了《中华人民共和国社会保险法》的强制性规定，也侵害了孕妇作为劳动者的合法权益。在这种情况下，孕妇有权通过申请仲裁、提起诉讼等方式，要求用人单位补缴社会保险费，并可能要求用人单位承担因未依法缴纳社保而导致的其他损失赔偿。

为了更具体地说明这一点，我们可以参考一些实际案例。比如，有案例中公司未依法为劳动者缴纳社保，导致劳动者在生病或非因工死亡时，其遗属领取的抚恤金等社保待遇远低于实际应得。在这种情况下，用人单位被要求支付抚恤金差额等损失赔偿。这一案例充分说明了用人单位不依法为劳动者缴纳社保的严重后果。

综上所述，私人单位在孕妇产后不为其缴纳社会保险费是违法的。孕妇作为劳动者，有权依法享受社会保险待遇，并有权要求用人单位依法为其缴纳社会保险费。如果用人单位拒绝履行这一法定义务，孕妇可以通过法律途径维护自己的合法权益。