结论前置：劳动仲裁认定劳动关系成立后，即使公司提起诉讼，您仍然可以进行工伤认定。以下从不同角度为您详细分析：

一、劳动仲裁与工伤认定的关系

劳动仲裁是解决劳动争议的一种方式，其裁决结果对于劳动关系的认定具有法律效力。当劳动仲裁认定劳动关系成立后，这一结果通常会被后续的法律程序所认可。工伤认定则是基于已经存在的劳动关系，对劳动者在工作中遭受的伤害是否属于工伤进行认定。因此，劳动仲裁认定劳动关系成立，是进行工伤认定的前提和基础。

二、公司提起诉讼对工伤认定的影响

公司提起诉讼，通常是对劳动仲裁结果的不服，希望通过司法程序来改变裁决结果。然而，公司提起诉讼并不影响工伤认定的进行。工伤认定是由社会保险行政部门负责，其依据的是已经存在的劳动关系和劳动者在工作中遭受的伤害事实。只要劳动关系已经得到确认，且劳动者在工作中遭受了伤害，就可以进行工伤认定。

三、工伤认定的流程

1. 申请：劳动者或其近亲属、工会组织在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，可以直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
2. 受理：社会保险行政部门收到工伤认定申请后，应当在15日内对申请人提交的材料进行审核，材料完整的，作出受理或者不予受理的决定。
3. 调查核实：社会保险行政部门受理工伤认定申请后，可以根据需要对申请人提供的证据进行调查核实。
4. 作出决定：社会保险行政部门应当自受理工伤认定申请之日起60日内作出工伤认定的决定，出具《认定工伤决定书》或者《不予认定工伤决定书》。

四、公司提起诉讼期间的工伤认定处理

在公司提起诉讼期间，如果劳动者已经提出了工伤认定申请，社会保险行政部门仍然会按照法定程序进行工伤认定。公司提起诉讼并不构成工伤认定的障碍。如果公司对工伤认定结果不服，可以在收到《认定工伤决定书》之日起60日内，向作出认定决定的社会保险行政部门的上级机关申请行政复议，或者向人民法院提起行政诉讼。但这并不影响工伤认定结果的执行和劳动者的相关权益。

五、建议

1. 及时申请工伤认定：在劳动仲裁认定劳动关系成立后，应尽快向社会保险行政部门提出工伤认定申请，以保障自己的合法权益。
2. 保留相关证据：在申请工伤认定时，应提供充分的证据证明自己在工作中遭受了伤害，如医疗证明、工作记录等。
3. 关注诉讼进展：如果公司提起诉讼，应关注诉讼进展，及时了解裁决结果，并根据需要采取相应的法律措施。

如果您在工伤认定或劳动仲裁过程中遇到任何问题，都可以直接向我咨询，我会为您提供专业的法律帮助。