在继承父亲遗产时，若不清楚祖父母的名字和死亡时间，确实可能会给继承手续的办理带来一定困难，但并非无法解决。以下是从不同角度为你提供的分析和建议：

1. 遗产继承的基本顺序与条件：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，遗产继承首先按照第一顺序继承人进行，即配偶、子女、父母。在你父亲去世的情况下，你作为子女，是第一顺序继承人之一。
   • 若祖父母（即你父亲的父母）也健在，他们同样作为第一顺序继承人，有权继承你父亲的遗产。但若祖父母已去世，则他们的继承权将不再存在，遗产将由其他第一顺序继承人继承。

2. 不清楚祖父母信息时的处理方式：

   • 尝试查询：你可以首先尝试通过家庭成员、亲戚或你父亲生前的朋友、同事等渠道，了解祖父母的名字和大致的死亡时间。这些信息对于确定继承顺序和份额至关重要。
   • 查阅档案：如果家庭内部无法提供足够的信息，你可以考虑查阅你父亲或祖父母的户籍档案、人事档案等，这些档案中可能包含他们的基本信息和死亡记录。
   • 法律程序：若上述方法均无法获取所需信息，你可能需要通过法律程序来确认继承权。这可能包括向法院提起继承权确认之诉，由法院根据证据和法律规定来判定继承顺序和份额。在此过程中，你可能需要提供其他证据来证明你的继承权，如你父亲的死亡证明、你与父亲的亲属关系证明等。

3. 可能面临的法律后果与应对策略：

   • 继承份额的确定：若祖父母已去世且无法确定其死亡时间，这可能会影响到你和其他继承人的继承份额。在这种情况下，法院将根据现有证据和法律规定来判定继承份额，确保公平合理。
   • 继承权的丧失：若你故意隐瞒或伪造祖父母的信息以获取更多继承份额，这可能构成违法行为，导致你丧失继承权或面临法律责任。因此，在处理继承问题时，务必保持诚实和透明。

4. 实际操作建议：

   • 咨询专业律师：在处理复杂的继承问题时，咨询一位专业律师是非常必要的。律师可以为你提供法律建议、协助你收集证据、准备法律文件，并代表你参与法律程序。
   • 保持沟通：与其他继承人保持沟通是非常重要的。通过协商和妥协，你们可以共同解决继承问题，避免不必要的法律纠纷和家庭矛盾。

在处理继承问题时，务必保持耐心和谨慎。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。作为专业律师，我将竭诚为你提供全面的法律支持和服务。