针对您提出的问题，即小学生被打不立案但回执20多天后才给，且是打电话当天才给，相关机构是否有责任，以下是我的分析：

1. 关于立案问题：

   • 首先，需要明确的是，立案与否通常取决于案件的性质、证据的充分性以及相关法律法规的规定。对于小学生被打这类事件，如果未达到刑事立案的标准（如未构成轻伤或重伤等），相关机构可能不会立案，而是作为治安案件或民事纠纷处理。
   • 如果您认为案件应当立案而未立案，且存在相关证据支持您的观点，您可以向相关机构提出复议或申诉，要求其重新审查并作出决定。

2. 关于回执延迟问题：

   • 回执是相关机构在接收报案或投诉后，向报案人或投诉人出具的书面或电子凭证，用于确认已接收并处理相关事宜。回执的及时出具对于保障报案人或投诉人的权益具有重要意义。
   • 如果相关机构在接收报案或投诉后20多天才出具回执，且是在打电话当天才给，这确实可能存在程序上的不当或延误。然而，要判断相关机构是否因此承担责任，需要具体分析其延迟出具回执的原因和性质。
   • 如果延迟出具回执是由于相关机构内部流程繁琐、人员不足或疏忽大意等可归责于其自身的原因造成的，且该延迟对报案人或投诉人的权益产生了实际影响（如错过了最佳维权时机等），那么相关机构可能因此承担一定的责任。这种责任可能表现为行政责任或民事责任，具体取决于相关法律法规的规定和案件的具体情况。
   • 另一方面，如果延迟出具回执是由于不可抗力（如自然灾害、系统故障等）或报案人或投诉人自身的原因（如提供的信息不完整、不准确等）造成的，那么相关机构可能不承担责任。

3. 建议与措施：

   • 如果您认为相关机构在处理小学生被打事件中存在不当或延误，且该不当或延误对您的权益产生了实际影响，您可以向相关机构的上级部门或监管机构投诉，要求其进行调查并作出处理。
   • 同时，您也可以考虑通过法律途径维护自己的权益，如向法院提起诉讼或申请仲裁等。在采取法律措施前，建议您先咨询专业律师的意见，以确保您的权益得到充分保障。

综上所述，相关机构在处理小学生被打事件中是否存在责任，取决于其立案与否的决定是否合法合理以及回执延迟的原因和性质。如果您对此有疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。