针对您提出的“单位不出具终止劳动关系证明，失业人员不能办失业登记的责任”这一问题，以下是我为您提供的详细解答：
首先，根据《劳动合同法》第五十条的规定，用人单位在解除或者终止劳动合同时，有义务向劳动者出具解除或者终止劳动合同的证明，也就是大家常说的“离职证明”。这是用人单位的法定义务，无论劳动者是自愿离职还是非自愿离职，无论离职原因是什么，用人单位都必须履行这一义务。
其次，离职证明对于劳动者来说具有非常重要的意义。它不仅是劳动者进行失业登记的必备条件，还关系到劳动者工作年限的计算、经济补偿金的支付、年休假、医疗期的确定等多个方面。特别是对于失业人员来说，如果没有离职证明，他们可能无法办理失业登记，进而无法享受失业待遇，如领取失业保险金等。
现在，我们回到您的问题本身。如果单位不出具终止劳动关系证明，导致失业人员不能办理失业登记，那么责任主要在于用人单位。因为用人单位违反了法律规定，未履行其法定义务。在这种情况下，失业人员可以通过法律途径来维护自己的权益，比如向劳动行政部门投诉，要求用人单位出具离职证明，并可能因此获得相应的赔偿。
此外，我还想提醒您的是，用人单位在开具离职证明时，应当注意以下几点：
开具离职证明的时间：应当在劳动合同解除或者终止的同时开具。如果劳动者已离开单位，可以书面通知其领取离职证明。
离职证明的内容：应当写明劳动合同期限、解除或者终止劳动合同的日期、工作岗位、在本单位的工作年限等必备内容。法律并未要求写离职原因，因此，在离职证明中可不对离职原因做具体描述。
离职证明的形式：应当采取书面形式，以便登记或存档。并且，向劳动者出具离职证明后一定要有劳动者签收记录，避免今后劳动者主张未出具离职证明的赔偿要求。
综上所述，单位不出具终止劳动关系证明，导致失业人员不能办理失业登记的责任主要在于用人单位。用人单位应当严格遵守法律规定，履行其法定义务，为劳动者开具离职证明。如果用人单位违反法律规定，劳动者可以通过法律途径来维护自己的权益。