当您与公司已经连续签订了两次固定期限劳动合同，而公司选择在合同到期后不续签时，您有权根据相关法律法规申请经济补偿或赔偿金。以下是对此问题的详细解答：
一、确认权益与法律依据
首先，您需要明确的是，根据《劳动合同法》的相关规定，在连续签订两次固定期限劳动合同后，若您没有严重违反公司规章制度或不能胜任工作等情形，且您提出续签无固定期限劳动合同的，公司应当与您续签。若公司不续签，则可能构成违法，您有权要求经济补偿或赔偿金。
二、经济补偿的计算标准
经济补偿的计算主要依据您在公司的工作年限和工资水平：
工作年限：每满一年支付一个月工资的标准向您支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向您支付半个月工资的经济补偿。
工资水平：这里的“月工资”是指您在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。若您的月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，则按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
三、公司违法不续签的赔偿
如果公司以不合理的条件（如降低原工资待遇等）导致您无法续签，或者公司直接拒绝续签且无正当理由，这构成违法不续签劳动合同的行为。在此情况下，公司不仅需要按照上述标准支付经济补偿金，还可能面临额外的赔偿责任，通常赔偿金标准为经济补偿金的二倍。
四、申请赔偿的流程
协商：首先，建议您与公司进行友好协商，尝试就赔偿事宜达成一致。在协商过程中，您可以明确指出公司不续签可能违法，并依据法律规定计算应得赔偿金额。
投诉或仲裁：若协商无果，您可以向当地的劳动监察部门投诉，或者向劳动合同履行地或用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会提起劳动仲裁申请。在申请仲裁时，请务必准备好充分的证据材料，如劳动合同文本、工资流水记录、工作证件、考勤记录等，以证明劳动关系及公司的违约行为。
司法救济：如果您对仲裁裁决结果不满意，可以在收到裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。若一审法院判决不服，还可以在判决书送达之日起十五日内向上一级人民法院提起上诉。若仲裁委员会裁决公司支付经济补偿但公司不履行，您还可以依法向人民法院申请强制执行。
五、全程保留证据
在整个过程中，请务必保存好所有与工作、合同及与公司沟通的记录。这些证据将是您维权的重要依据。
综上所述，面对公司不续签劳动合同的情况，您应首先确认自己的合法权益，并通过协商、投诉、仲裁或诉讼等途径寻求经济补偿或赔偿金。在整个过程中，请保持冷静理性，注重证据收集，确保自身权益得到有效维护。如需更具体的建议或帮助，请咨询专业律师。