结论：被辞退的无编制代课教师，拥有31年教龄，您可以通过劳动仲裁、协商、投诉举报或诉讼等途径来维护自己的权益，具体选择哪种方式取决于您的具体情况和需求。以下是对此问题的详细分析：
一、劳动仲裁途径
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的相关规定，因确认劳动关系发生的争议，因订立、履行、变更、解除和终止劳动合同发生的争议，以及因工作时间、休息休假、社会保险、福利、培训以及劳动保护发生的争议等，都属于劳动争议仲裁的范围。
操作步骤：
- 准备材料：收集与劳动关系相关的证据，如工作证、工资单、考勤记录、同事证言等，以证明您与用人单位之间存在劳动关系以及您的教龄。
- 提交申请：向当地劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请，并附上相关证据材料。
- 参与仲裁：按照仲裁委员会的通知参与仲裁程序，包括开庭审理、辩论等。
- 执行裁决：如果仲裁裁决支持您的诉求，用人单位应当履行裁决。如果用人单位不履行，您可以向人民法院申请强制执行。
可能的结果：
- 如果仲裁裁决认定您与用人单位之间存在劳动关系，并支持您关于经济补偿、赔偿金等诉求，那么您将获得相应的法律救济。
二、协商途径
操作建议：
- 在提起劳动仲裁之前，您可以尝试与用人单位进行协商，看是否能够达成和解协议。
- 协商时，您可以明确提出自己的诉求，如经济补偿、赔偿金、社会保险补缴等，并说明自己的理由和依据。
可能的结果：
- 如果协商成功，双方可以签订和解协议，并按照协议履行各自的义务。这种方式相对快捷、成本较低，且能够保持双方的关系和谐。
三、投诉举报途径
操作建议：
- 如果您认为用人单位存在违法行为，如未依法签订劳动合同、未依法缴纳社会保险等，您可以向当地劳动监察部门进行投诉举报。
- 投诉举报时，您需要提供相关证据材料，并说明用人单位的违法行为以及您的诉求。
可能的结果：
- 劳动监察部门将会对用人单位进行调查核实，并根据调查结果依法进行处理。如果用人单位确实存在违法行为，劳动监察部门将会责令其改正，并可能对其进行行政处罚。
四、诉讼途径
法律依据：
- 如果劳动仲裁裁决未支持您的诉求，或者您对仲裁裁决不服，您可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
操作步骤：
- 准备材料：收集与案件相关的证据材料，并撰写起诉状。
- 提交起诉：向当地人民法院提交起诉状和证据材料，并缴纳诉讼费。
- 参与诉讼：按照法院的通知参与诉讼程序，包括开庭审理、辩论等。
- 执行判决：如果法院判决支持您的诉求，用人单位应当履行判决。如果用人单位不履行，您可以向人民法院申请强制执行。
可能的结果：
- 如果法院判决认定您与用人单位之间存在劳动关系，并支持您关于经济补偿、赔偿金等诉求，那么您将获得相应的法律救济。但诉讼过程相对较长，成本较高，且结果具有不确定性。
五、特别提示
- 教龄认定：在维权过程中，教龄的认定是一个关键问题。您需要提供充分的证据来证明自己的教龄，如工作证、工资单、考勤记录、同事证言等。
- 法律援助：如果您经济困难或者存在其他特殊情况，可以向当地法律援助机构申请法律援助，以获得免费的法律咨询和代理服务。
六、行动建议
- 尽快行动：由于劳动争议的时效性较强，建议您尽快采取行动来维护自己的权益。
- 保持冷静：在维权过程中，保持冷静和理性，避免采取过激行为或者言语攻击等不当方式。
- 寻求支持：您可以寻求家人、朋友或者同事的支持和帮助，共同面对困难和挑战。
如果您在维权过程中遇到任何问题或者需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。