结论：银行员工在教育机构兼职被发现是否会被开除，取决于多个因素，包括劳动合同的约定、银行规章制度、兼职的性质以及是否对银行工作造成了影响等。

一、劳动合同与规章制度

1. 劳动合同约定：

   • 首先，需要查看银行员工与银行签订的劳动合同中是否有关于兼职的明确规定。如果劳动合同中明确禁止员工在外兼职，那么员工在教育机构兼职就违反了劳动合同，银行有权依据合同条款进行处理，包括开除。

2. 银行规章制度：

   • 除了劳动合同，银行的规章制度也可能对员工兼职有规定。如果规章制度中明确禁止或限制员工兼职，并且员工违反了这些规定，银行同样有权进行处理。

二、兼职的性质与影响

1. 兼职性质：

   • 兼职的性质也是决定是否会被开除的重要因素。如果兼职工作与银行工作存在利益冲突，比如兼职教育机构的教学内容与银行金融业务相关，可能引发利益输送或信息泄露等风险，那么银行更可能采取严厉措施。

2. 对银行工作的影响：

   • 如果兼职工作影响了员工在银行的本职工作，比如导致工作效率下降、工作质量降低或经常请假等，银行也可能认为员工违反了工作职责，从而采取开除等措施。

三、法律后果与建议

1. 法律后果：

   • 如果银行依据劳动合同或规章制度开除员工，并且这一决定符合法律法规和劳动合同约定，那么员工可能面临失业和经济损失。同时，如果兼职行为涉及违法或违规行为，员工还可能面临法律责任。

2. 建议：

   • 谨慎选择兼职：银行员工在选择兼职时，应仔细考虑兼职的性质、时间安排以及对本职工作的影响，避免选择与银行工作存在利益冲突或可能影响工作效率的兼职。
   • 遵守规章制度：员工应严格遵守银行的规章制度和劳动合同约定，不擅自在外兼职或违反相关规定。
   • 及时沟通：如果员工确实有兼职需求，应提前与银行沟通并获得批准，以避免不必要的纠纷和风险。

总结：银行员工在教育机构兼职被发现是否会被开除，并没有一个固定的答案。它取决于劳动合同的约定、银行规章制度、兼职的性质以及是否对银行工作造成了影响等多个因素。因此，建议银行员工在选择兼职时务必谨慎，并遵守相关规定和约定。如果有任何疑问或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。