核心结论：农民工承揽工程时意外受伤且未购买工伤保险，无论是否有合同，都可能涉及法律权益保护问题，但合同的有无会影响维权路径和责任承担方式。以下是具体分析：

1. 有合同的情况

• 法律关系明确：若农民工与发包方（如包工头、建筑公司）签订了书面或口头承揽合同，双方构成承揽关系。根据《民法典》第1193条，承揽人在完成工作过程中造成自身损害的，原则上由承揽人自行承担责任，除非定作人（发包方）对定作、指示或选任存在过错（如要求承揽人冒险作业、选择无资质人员等）。
• 维权路径：
  • 若发包方存在过错（如未提供安全条件、指示不当），可要求其承担相应赔偿责任；
  • 若合同中约定了安全保障条款（如发包方需提供保险），可依据合同主张违约责任。

2. 无合同的情况

• 法律关系认定：未签订合同时，需通过实际履行情况（如工资支付、工作管理）判断是否构成劳动关系或雇佣关系：
  • 劳动关系：若农民工长期为同一单位工作、接受管理并领取工资，可能被认定为事实劳动关系。此时，即使未购买工伤保险，用人单位仍需按《工伤保险条例》承担工伤赔偿责任（包括医疗费、伤残补助等）。
  • 雇佣关系：若为短期、临时性工作，可能被认定为雇佣关系。根据《民法典》第1192条，提供劳务一方因劳务受到损害的，根据双方过错分担责任（如雇主未提供安全措施需担责）。
• 维权难点：无合同可能导致劳动关系认定困难，需通过工资记录、工作证、证人证言等证据证明实际用工关系。

3. 关键建议

• 收集证据：无论是否有合同，均需保留医疗记录、工资凭证、工作现场照片、证人联系方式等证据；
• 申请工伤认定：若能证明劳动关系，可向当地社保部门申请工伤认定（即使未参保，用人单位仍需赔偿）；
• 起诉或协商：根据责任主体（发包方/雇主）和过错程度，可选择协商赔偿或直接起诉要求人身损害赔偿。

总结：合同的有无会影响责任划分，但未购买工伤保险不意味着无法维权。建议优先通过证据固定劳动关系或雇佣关系，再依据法律主张赔偿。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作细节。