核心结论：工厂上班小拇指筋断了三根，赔偿问题需结合工伤认定、伤残等级鉴定及具体赔偿项目综合确定，具体如下：
1. 先确认是否构成工伤
根据《工伤保险条例》，在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应认定为工伤。您的情况（工厂上班时小拇指筋断三根）符合工伤认定条件，需尽快向工厂提出工伤认定申请（工厂应在30日内申请，逾期可由您或近亲属在1年内申请）。
关键点：若工厂未缴纳工伤保险，所有赔偿由工厂承担；若已缴纳，由工伤保险基金支付大部分费用。
2. 进行劳动能力鉴定（伤残等级）
工伤认定后，需向市级劳动能力鉴定委员会申请伤残等级鉴定。小拇指筋断三根可能构成以下等级：
- 十级伤残：若功能影响较轻（如关节活动度轻微受限）；
- 九级伤残：若功能影响较重（如关节活动度明显受限或需手术修复）。
赔偿差异：伤残等级直接影响一次性伤残补助金、一次性医疗补助金等金额（十级约7个月工资，九级约9个月工资，具体以当地标准为准）。
3. 具体赔偿项目及计算
根据《工伤保险条例》及地方实施细则，赔偿包括：
- 医疗费用：符合工伤保险目录的治疗费、药费、住院费等；
- 停工留薪期工资：原工资福利待遇不变，由工厂按月支付（一般不超过12个月）；
- 一次性伤残补助金：十级为7个月本人工资，九级为9个月本人工资；
- 一次性工伤医疗补助金：离职时由工伤保险基金支付（十级约3-6个月当地社平工资，九级约5-8个月）；
- 一次性伤残就业补助金：离职时由工厂支付（标准同医疗补助金，但具体月数可能不同）。
示例计算（以十级伤残、月工资5000元、当地社平工资6000元为例）：
- 一次性伤残补助金：5000×7=35000元；
- 一次性工伤医疗补助金：6000×4=24000元（假设当地十级为4个月）；
- 一次性伤残就业补助金：6000×4=24000元；
- 停工留薪期工资：5000×3=15000元（假设停工3个月）。
总计约9.8万元（具体以实际鉴定等级和当地标准为准）。
4. 若工厂不配合怎么办？
- 向劳动监察大队投诉（要求工厂申请工伤认定或支付赔偿）；
- 申请劳动仲裁（主张工伤待遇赔偿）；
- 对仲裁结果不服的，可向法院起诉。
建议行动步骤：
- 立即要求工厂申请工伤认定（或自行申请）；
- 保留医疗记录、工资证明等证据；
- 待伤情稳定后申请劳动能力鉴定；
- 根据鉴定结果与工厂协商赔偿，协商不成则通过法律途径解决。
如有进一步疑问（如具体地区赔偿标准、证据收集等），可直接向我咨询，我会结合您所在省份的细则详细解答。