结论前置：

1. 若协议中有明确续签条款或双方有续签意愿：需要提交留用申请书，以明确双方权利义务。
   
2. 若协议未约定续签且无续签意愿：无需提交留用申请书，协议到期自然终止。
   

核心前提与法律分析

公益性岗位协议属于劳动合同或劳务协议范畴，其续签或终止需遵循《劳动合同法》及相关地方性法规。根据协议性质及双方意愿，处理方式如下：

1. 协议明确约定续签条款

若协议中载明“到期自动续签”或“需提前申请续签”，则用人单位或劳动者需按约定履行程序：

• 劳动者申请留用：需提交书面申请，明确留用期限、岗位、待遇等，用人单位审核后决定是否续签。
  
• 用人单位主动留用：需向劳动者发出续签通知，劳动者同意后签订新协议。
  

法律依据：
《劳动合同法》第12条、第13条：非全日制用工可订立口头协议，但公益性岗位通常为全日制，需书面协议；第46条：除用人单位维持或提高条件劳动者不续签外，终止协议需支付经济补偿。

2. 协议未约定续签条款

若协议未明确续签规则，则按以下原则处理：

• 双方协商续签：需重新签订协议，劳动者可主动提交留用申请，用人单位同意后生效。
  
• 协议自然终止：到期后未续签且未继续用工的，协议终止，双方权利义务终结。
  

风险提示：

• 用人单位未续签但继续用工的，可能形成事实劳动关系，需承担未签合同的双倍工资风险（《劳动合同法》第82条）。
  
• 劳动者拒绝续签但继续工作的，可能被认定为默认接受原条件续签。
  

实务建议

1. 劳动者角度：
   
   • 若希望留用，提前30日向用人单位提交书面申请，明确留用条件。
     
   • 保留协议文本、工作记录等证据，避免纠纷。
     
2. 用人单位角度：
   
   • 协议到期前评估是否续签，及时通知劳动者并办理手续。
     
   • 拒绝续签需支付经济补偿（工作满1年支付1个月工资）。
     

总结：是否需要提交留用申请书，取决于协议约定及双方意愿。建议根据实际情况书面确认，避免法律风险。如有具体协议条款或地方政策疑问，可进一步提供细节，我将为您详细分析。