核心结论：在私人小厂上班时牙摔掉，在私人诊所治疗后的赔偿问题，需根据具体情况确定责任主体后，通过协商、调解或诉讼等途径来主张相应赔偿，赔偿范围涵盖医疗费、误工费等合理费用。以下从不同角度进行分析：
责任主体认定角度
- 若私人小厂存在过错：
- 根据《工伤保险条例》，如果私人小厂与劳动者建立了劳动关系，且劳动者是在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害导致牙摔掉，那么这属于工伤范畴。即使是在私人诊所治疗，小厂也应承担相应的工伤赔偿责任。
- 例如，小厂没有提供安全的工作环境，导致员工在工作过程中摔倒摔掉牙，那么小厂就需要对员工的损失负责。赔偿项目包括治疗牙的医疗费用（无论是在公立医院还是私人诊所产生的合理费用）、因治疗产生的误工费、护理费（如果需要护理的话）等。
- 若私人小厂不存在过错：
- 如果员工摔掉牙是由于自身原因，如自己不小心摔倒，且与工作无关，那么小厂一般不承担赔偿责任。但如果是小厂组织的活动中发生此类情况，可能需要根据活动的性质和小厂的管理责任来判断是否承担一定责任。
- 例如，小厂组织员工户外拓展，在活动过程中员工摔掉牙，若活动组织存在安全隐患，小厂可能需要承担部分责任；若活动组织合理，员工自身疏忽导致，小厂责任可能较小或无责任。
赔偿途径角度
- 协商解决：
- 员工可以先与私人小厂进行友好协商，明确责任归属后，就赔偿金额和方式达成一致。协商过程中，员工应提供相关的证据，如治疗牙的发票、诊断证明、误工证明等，以证明自己的损失。
- 例如，员工可以整理好在私人诊所治疗牙的所有费用清单，以及因治疗请假导致的工资减少证明，与小厂协商赔偿这些费用。
- 调解解决：
- 如果协商不成，员工可以向当地的劳动争议调解组织申请调解。调解组织会组织双方进行沟通，根据事实和法律规定，提出合理的调解方案。
- 比如，劳动争议调解委员会可以邀请双方坐下来，听取各自的意见，然后根据工伤认定标准和相关赔偿规定，给出一个双方都能接受的赔偿数额。
- 诉讼解决：
- 若调解也无法达成一致，员工可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，法院会根据双方提供的证据和法律规定，判决责任主体和赔偿金额。
- 例如，员工需要准备好所有能证明自己受伤与工作有关以及损失情况的证据，在法庭上陈述自己的诉求，法院会依法作出公正的判决。
赔偿范围角度
- 医疗费用：
- 包括在私人诊所治疗牙所产生的合理费用，如检查费、治疗费、药品费等。但需要确保这些费用是与治疗牙的损伤直接相关的，且费用合理。
- 例如，员工摔掉牙后，在私人诊所进行了补牙、根管治疗等，这些合理的治疗费用都可以主张赔偿。
- 误工费：
- 员工因治疗牙而耽误工作导致的工资损失。一般按照员工受伤前的平均工资标准，结合误工时间来计算。
- 比如，员工每月工资 5000 元，因治疗牙请假 10 天，那么误工费大约为 5000÷30×10 = 1667 元。
- 其他费用：
- 如果因牙的损伤导致需要护理，还可以主张护理费；如果造成残疾，还可以主张残疾赔偿金等。
建议：你可以先收集好相关的证据，如治疗记录、费用发票、工资证明等，然后与私人小厂进行协商。如果协商不成，及时寻求劳动争议调解组织的帮助，或者通过法律途径解决。如果你还有其他疑问，欢迎继续向我咨询。