结论：在浴室摔倒碰坏牙齿到私人诊所治疗，是否可以按治疗费赔偿，这取决于摔倒的原因以及责任归属。以下从不同角度进行分析：
如果浴室摔倒是由于自身原因：
- 法律分析：在这种情况下，由于摔倒是由您自身的不小心或疏忽造成的，那么您通常需要自行承担治疗费用。除非您能证明浴室的环境或设施存在安全隐患，且该隐患是导致您摔倒的直接原因，否则很难要求他人进行赔偿。
- 建议：如果您认为浴室环境或设施存在问题，建议立即收集相关证据，如照片、视频或目击者证言，以备后续可能的法律纠纷。
如果浴室摔倒是由于浴室管理方的过错：
- 法律分析：根据《民法典》的相关规定，如果浴室的管理方未尽到安全保障义务，导致您摔倒受伤，那么管理方应当承担侵权责任，包括赔偿您的医疗费用、误工费等损失。在这种情况下，您到私人诊所的治疗费用，只要合理且必要，都可以作为赔偿的一部分。
- 赔偿范围：赔偿范围通常包括直接损失（如治疗费、药费、交通费等）和间接损失（如误工费、护理费等）。具体赔偿金额需要根据您的实际损失和证据来确定。
- 建议：
- 及时取证：在摔倒后，应立即拍照或录像记录现场情况，并寻找可能的目击者。
- 保留医疗记录：妥善保存所有与治疗相关的医疗记录、费用单据等，这些将是后续索赔的重要证据。
- 与管理方协商：在收集到足够证据后，可以尝试与管理方进行协商，看是否能够达成赔偿协议。
- 寻求法律帮助：如果协商无果，或者管理方拒绝承担责任，您可以考虑寻求法律帮助，通过法律途径维护自己的权益。
关于私人诊所治疗费用的合理性：
- 法律分析：无论责任归属如何，您到私人诊所的治疗费用都需要是合理且必要的。如果治疗费用过高或存在不必要的治疗项目，可能会影响您的赔偿请求。
- 建议：在选择私人诊所时，建议选择有资质、信誉良好的医疗机构，并确保治疗项目与您的伤情相符。同时，保留好所有治疗费用的单据和记录，以备后续索赔时使用。
后续行动建议：
- 如果您认为浴室管理方存在过错，且您因此遭受了损失，建议尽快收集证据并与管理方进行协商。
- 如果协商无果或管理方拒绝承担责任，您可以考虑咨询专业律师（即我，吕柳玲律师，专注于离婚、债权债务、律师会见、交通事故赔偿、侵权纠纷领域），了解您的法律权益和可能的赔偿途径。
- 在整个过程中，保持冷静和理性，依法维护自己的权益。