核心前提：乡镇干部因看病需要向镇长请假，但书记不认可该请假申请。

结论与建议：

1. 明确请假流程与权限：

   • 首先，需要确认单位内部的请假流程和权限分配。通常情况下，乡镇干部的请假可能涉及直接上级（如镇长）的审批，但某些情况下也可能需要更高层级（如书记）的认可，尤其是涉及较长时间或特殊原因的请假。
   • 建议：查阅单位内部的规章制度或员工手册，明确请假的具体流程和所需审批层级。如果规定中明确镇长有权审批短期病假，而书记的不认可可能超出了其权限范围，可以据此与书记沟通。

2. 沟通与解释：

   • 书记不认可请假申请，可能是由于对请假原因、时长或工作安排有疑虑。
   • 建议：主动与书记进行沟通，详细解释看病的重要性和紧迫性，提供医疗证明或医生建议作为依据。同时，可以提出在请假期间的工作交接方案，确保工作的连续性和稳定性。

3. 寻求上级或人事部门的协助：

   • 如果与书记的沟通未能达成一致，可以考虑向上级领导（如县或市级的对应部门）或人事部门反映情况。
   • 建议：在反映时，保持客观和理性，提供充分的证据和理由，说明请假符合单位规定和实际需要。上级或人事部门可能会介入协调，给出更公正的决策。

4. 考虑法律途径（极端情况）：

   • 在极少数情况下，如果单位的行为严重违反了劳动法或相关规章制度，且通过内部途径无法解决，可以考虑通过法律途径维护自己的权益。
   • 建议：在采取法律行动前，务必咨询专业法律意见，确保自己的权益得到充分保护。同时，要准备好相关证据和材料，以支持自己的主张。不过，这种情况较为极端，应优先考虑通过内部沟通和协调解决问题。

总结：面对书记不认可请假申请的情况，乡镇干部应首先明确请假流程和权限，然后与书记进行积极沟通，提供充分的证据和理由。如果沟通无果，可以寻求上级或人事部门的协助。在极端情况下，再考虑通过法律途径维护自己的权益。希望这些建议能对你有所帮助，如果有任何进一步的法律问题，可以直接向我咨询。