结论：学校上学期未与教师签订合同，下学期不聘请该教师的行为是否合法，需视具体情况而定，但通常学校应承担一定法律责任。
一、未签订书面劳动合同的法律责任
事实劳动关系的认定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。即使未签订书面劳动合同，只要存在实际用工行为，即构成事实劳动关系。
- 在此情况下，学校作为用人单位，与教师之间已建立了事实上的劳动关系。
未签订书面劳动合同的后果：
- 根据法律规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 因此，如果学校上学期未与教师签订书面劳动合同，且用工时间超过一个月，学校可能需要向教师支付双倍工资作为赔偿。
二、下学期不聘请教师的合法性分析
合法解除劳动关系的情形：
- 如果学校希望下学期不再聘请该教师，应依法与教师协商解除劳动关系，或依据法律规定的情形（如教师严重违反学校规章制度、不能胜任工作等）单方面解除劳动关系。
- 在此过程中，学校应遵守法定程序，如提前通知、支付经济补偿等。
违法解除劳动关系的后果：
- 如果学校未依法与教师解除劳动关系，而是直接通知下学期不再聘请，且没有合法理由，可能构成违法解除劳动关系。
- 根据法律规定，用人单位违法解除或者终止劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
三、建议与措施
对于学校：
- 学校应尽快与教师协商签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务。
- 如果希望下学期不再聘请该教师，应依法与教师协商解除劳动关系，并支付相应的经济补偿。
- 避免直接通知不再聘请而不履行任何法定程序，以免引发法律纠纷。
对于教师：
- 如果学校未与教师签订书面劳动合同，教师可以要求学校签订，并主张双倍工资赔偿。
- 如果学校违法解除劳动关系，教师可以要求学校支付赔偿金，并可以通过法律途径维护自己的合法权益。
总结：学校上学期未与教师签订合同，下学期不聘请的行为是否合法，取决于学校是否依法与教师解除了劳动关系。如果学校未依法解除，则可能构成违法解除，需要承担相应的法律责任。因此，建议学校在处理此类问题时，务必遵守相关法律法规，以避免不必要的法律纠纷。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。