在公司开始重整后，对于已开始的民事诉讼程序，其处理方式需要遵循特定的法律规则和程序，以确保公司重整的顺利进行并维护各方当事人的合法权益。以下是对这一问题的详细解答：
一、已提起的民事诉讼的中止与继续
一般中止情况：
- 在公司重整期间，对于已提起但尚未终结的民事诉讼，通常会暂时中止。这是因为重整期间公司的经营和财务状况处于不稳定状态，需要集中精力进行重整计划的制定和实施。民事诉讼的进行可能会分散公司的资源和注意力，从而干扰重整进程。
继续进行的例外：
- 并非所有的民事诉讼都会被立即中止。一些与重整密切相关的诉讼，如债权人对重整计划的异议之诉等，可能会继续进行。这些诉讼对于重整的顺利进行具有重要的影响，需要及时解决以避免对重整计划造成不利影响。
二、管理人接管后的诉讼继续
- 当管理人接管债务人财产后，之前中止的民事诉讼可以继续进行。管理人接管前，诉讼程序无法正常推进，以确保管理人能全面掌握情况、更好地代表债务人参与诉讼。这是为了保障诉讼的公正性和有效性，同时避免在管理人未全面了解情况前做出不利于债务人的裁决。
三、新提起的民事诉讼的处理
申报债权方式：
- 在重整期间，若涉及债务人的新诉讼，债权人通常需要通过申报债权的方式主张权利，而非直接提起新的诉讼。这是因为重整程序旨在通过整体恢复企业的经营能力来清偿债务，避免个别债权人通过诉讼获得单独清偿，从而影响其他债权人的利益和重整计划的实施。
法院审查与处理：
- 对于新提起的民事诉讼，法院会根据具体情况进行审查和处理。如果新的民事诉讼与重整计划的制定和实施没有直接关系，一般也会暂时中止；如果与重整密切相关，法院会根据具体情况决定是否继续进行，并可能要求债权人通过申报债权的方式参与重整程序。
四、涉及债务人财产的个别清偿诉讼
- 在重整期间，涉及债务人财产的个别清偿诉讼，法院一般不予支持。这是因为重整程序的目标是让企业整体恢复经营能力，而不是满足个别债权人的清偿需求。如果允许个别债权人通过诉讼获得单独清偿，可能会破坏重整计划的平衡性和可行性，从而损害其他债权人的利益。
五、重整计划执行期间的纠纷解决
- 在重整计划执行期间，因重整计划执行所产生的纠纷，应按照重整计划规定的方式解决。如果重整计划未规定具体的纠纷解决方式，当事人可以通过协商、仲裁或诉讼等途径解决。这有助于确保重整计划的顺利执行，并维护各方当事人的合法权益。
总结：在公司重整期间，民事诉讼的处理需要综合考虑各种因素，既要保障民事诉讼当事人的合法权益，又要确保公司重整的顺利进行。法院会根据具体情况灵活运用相关的法律规定和程序做出合理的裁决。因此，对于已开始的民事诉讼程序，当事人应密切关注重整进程和法院的通知，以便及时了解诉讼的进展情况并采取相应的措施。