对于五十一岁且签订无固定期限劳动合同的员工能否被辞退的问题，不能一概而论，需要分情况讨论：
达到法定退休年龄的情况：
- 通常情况下，女性员工在达到法定退休年龄（一般为50周岁）时，劳动合同会终止，而非被辞退。这意味着，如果员工已经51岁且达到了法定退休年龄，那么劳动合同自然终止，不存在辞退的问题。
- 但如果员工从事的是特殊工种，并且经过劳动行政部门的批准可以延迟退休，那么在此期间劳动合同可以继续履行，用人单位不能仅以员工达到退休年龄为由解除劳动合同。
未达到法定退休年龄或特殊工种延迟退休的情况：
- 如果员工虽然51岁但尚未达到法定退休年龄，或者属于特殊工种并经批准延迟退休，那么用人单位不能随意辞退该员工。
- 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位在解除劳动合同时需要遵循法定情形和程序。例如，如果员工不存在严重违反用人单位规章制度、被依法追究刑事责任等过错情形，用人单位不得随意辞退。
- 对于在本单位连续工作满十五年，且距法定退休年龄不足五年的员工，用人单位不得依照《劳动合同法》第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同，除非员工存在前述过错性情形。
协商一致解除劳动合同的情况：
- 无论员工是否达到法定退休年龄，用人单位与员工协商一致都可以解除劳动合同。但在此情况下，用人单位需要依法支付经济补偿。
法律建议：
- 如果您是51岁的员工，且签订了无固定期限劳动合同，首先需要确认自己是否已经达到法定退休年龄或属于特殊工种并经批准延迟退休。
- 如果您尚未达到法定退休年龄或属于特殊工种并经批准延迟退休，且用人单位试图辞退您，您可以要求用人单位提供合法的辞退理由，并考虑是否通过法律途径维护自己的权益。
- 如果您与用人单位协商一致解除劳动合同，请确保了解并同意经济补偿的金额和支付方式。
可能的法律后果：
- 如果用人单位违反法律规定辞退员工，员工有权要求用人单位继续履行劳动合同或支付赔偿金。
- 如果员工因用人单位的违法行为而遭受损失，员工还有权要求用人单位承担赔偿责任。
总之，五十一岁且签订无固定期限劳动合同的员工能否被辞退，取决于多种因素，包括是否达到法定退休年龄、是否从事特殊工种并经批准延迟退休、以及用人单位解除劳动合同的理由和程序是否合法等。如果您面临此类问题，建议直接向我咨询，以便更准确地了解自己的权益和应对策略。