店长只把监控私发给其中一名员工的行为，可能涉及违法，具体取决于监控内容的性质、发送目的以及是否侵犯了另一名员工的合法权益。以下从不同角度进行分析：

一、从隐私权保护的角度

1. 隐私权定义：隐私权是指个人享有的私人生活安宁与私人信息秘密依法受到保护，不被他人非法侵扰、知悉、收集、利用和公开的一种人格权。
2. 监控内容性质：如果监控内容涉及员工的个人隐私，如私人对话、个人行为等，且这些内容并不直接关联到工作争执的解决，那么店长未经另一名员工同意，私自将监控发送给其中一名员工，可能构成对另一名员工隐私权的侵犯。
3. 法律后果：根据《中华人民共和国民法典》等相关法律法规，侵犯他人隐私权可能需要承担民事责任，包括停止侵害、赔礼道歉、赔偿损失等。

二、从劳动管理职责的角度

1. 店长职责：店长作为劳动管理者，有责任维护工作场所的秩序和安全，处理员工之间的争执。然而，这并不意味着店长可以随意处理员工的个人信息，包括监控视频。
2. 合理处理方式：在处理员工争执时，店长应当采取合理、公正的方式，如组织双方进行调解、听取双方意见等。如果确实需要查看监控视频以了解争执情况，店长应当在确保不侵犯员工隐私权的前提下，进行必要的查看和记录，而不是私自将监控发送给其中一名员工。
3. 违规后果：如果店长滥用职权，私自处理员工个人信息，可能违反公司内部的规章制度，甚至可能面临劳动纪律处分或法律责任。

三、从公司规章制度的角度

1. 规章制度内容：许多公司都会制定关于员工行为规范、信息保密等方面的规章制度。这些规章制度可能明确规定了员工信息的处理方式和保密义务。
2. 违规处理：如果店长违反了公司的规章制度，私自将监控发送给其中一名员工，公司有权根据规章制度对店长进行相应的处理，如警告、罚款、解雇等。

建议与措施

1. 沟通协商：如果两名员工对店长的行为有异议，可以首先尝试与店长进行沟通协商，表达各自的诉求和关切。
2. 向公司反映：如果沟通协商无果，员工可以向公司的人力资源部门或上级领导反映情况，要求公司介入处理。
3. 寻求法律援助：如果员工认为自己的合法权益受到了侵犯，可以寻求法律援助，通过法律途径维护自己的权益。

综上所述，店长只把监控私发给其中一名员工的行为可能涉及违法，具体取决于多种因素。如果员工对此有异议或认为自己的权益受到了侵犯，建议及时采取措施维护自己的权益。如果有任何法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。