罪犯暂予监外执行的审批机关，主要根据罪犯所处阶段及所判刑罚的不同而有所区别。以下是对这一问题的详细解答：
一、交付执行前的审批机关
在交付执行前，若罪犯符合暂予监外执行的条件，审批机关为交付执行的人民法院。法院会综合考虑罪犯的身体状况、所判刑罚等因素，作出是否暂予监外执行的决定。这一决定过程体现了法院对罪犯合法权益的保障，以及对刑罚执行灵活性和人道性的考虑。
二、交付执行后的审批机关
监狱服刑的罪犯：
- 对于在监狱服刑的罪犯，无论其是被判处有期徒刑、拘役还是无期徒刑，暂予监外执行的审批机关均为省级以上监狱管理机关。
- 监狱在日常管理中，若发现罪犯符合暂予监外执行条件，如患有严重疾病需要保外就医、怀孕或正在哺乳自己婴儿的妇女、生活不能自理且适用暂予监外执行不致危害社会等，应详细审查核实并形成书面意见，上报省级以上监狱管理机关审批。
看守所服刑的罪犯：
- 对于在看守所服刑的罪犯（通常指被判处有期徒刑或拘役且刑期较短的罪犯），暂予监外执行的审批机关为设区的市一级以上公安机关。
- 看守所对在押罪犯情况较为了解，当发现符合暂予监外执行情形时，应按程序提出书面意见并上报审批。
三、审批程序的监督与保障
- 人民检察院的监督：无论在哪个阶段，对于暂予监外执行的决定，决定或者批准机关均应将暂予监外执行决定抄送人民检察院。人民检察院作为法律监督机关，有权对暂予监外执行的决定进行监督，以确保程序的合法性、公正性以及决定的准确性。
- 审批程序的合法性与公正性：审批机关在作出暂予监外执行决定时，必须严格遵守相关法律法规，确保审批程序的合法性与公正性。这既体现了法律的严谨性，又彰显了法律的人文关怀。
四、特殊情况下的处理
- 保外就医的特殊要求：对于确实患有严重疾病、必须实行保外就医的罪犯，需由省级人民政府指定的医院进行明确诊断，并出具相应的证明文件。这是为了确保保外就医的合法性和必要性，防止罪犯利用保外就医进行逃避刑罚执行的行为。
- 不得保外就医的情形：对于适用保外就医可能有社会危险性的罪犯，以及具有自我伤害或自残倾向的罪犯，不得实行保外就医制度。这是为了维护社会安全和稳定，防止罪犯在保外就医期间再次危害社会。
总结来看，罪犯暂予监外执行的审批机关因罪犯所处阶段及所判刑罚的不同而有所差异。但无论如何，都需严格遵守相关法律法规，确保审批程序的合法性与公正性，并接受人民检察院的监督。如果您或您身边的人遇到相关法律问题，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。