申请暂予监外执行的执行机关是社区矫正机构，但决定机关根据罪犯所处的不同阶段而有所不同。以下是对这一问题的详细解答：
一、暂予监外执行的决定机关
交付执行前：
- 在人民法院作出判决、裁定的同时，如果罪犯符合暂予监外执行的条件（如严重疾病需要保外就医、怀孕或正在哺乳自己婴儿的妇女、生活不能自理且适用暂予监外执行不致危害社会等），由交付执行的人民法院直接决定暂予监外执行。
交付执行后：
- 如果罪犯在监狱服刑，且监狱认为其符合暂予监外执行的条件，监狱应提出书面意见，并报请省级以上监狱管理机关批准。
- 如果罪犯在看守所服刑（通常是被判处有期徒刑但剩余刑期在三个月以下，或被判处拘役的罪犯），且看守所认为其符合暂予监外执行的条件，看守所应提出书面意见，并报请设区的市一级以上公安机关批准。
二、暂予监外执行的执行机关
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，对被判处管制、宣告缓刑、假释或者暂予监外执行的罪犯，依法实行社区矫正，由社区矫正机构负责执行。这意味着，无论暂予监外执行的决定是由哪个机关作出的，其执行机关都是社区矫正机构。
三、相关机关的配合与监督
- 交接手续：批准暂予监外执行后，相关机关（如人民法院、监狱管理机关或公安机关）会将罪犯押送至其居住地，与社区矫正机构办理交接手续，确保罪犯顺利纳入社区矫正体系。
- 法律监督：人民检察院对暂予监外执行的全过程进行法律监督。如果发现决定或者批准暂予监外执行不当，人民检察院会向决定或者批准机关提出书面纠正意见，确保暂予监外执行的合法性和公正性。
四、实际案例说明
- 假设某罪犯因严重疾病需要保外就医，且该罪犯正在监狱服刑。监狱在审查核实后，认为其符合暂予监外执行的条件，于是提出书面意见并报请省级以上监狱管理机关批准。批准后，监狱将罪犯押送至其居住地，与社区矫正机构办理交接手续。此后，该罪犯由社区矫正机构负责管理和监督。
总结：申请暂予监外执行的执行机关是社区矫正机构，但决定机关根据罪犯所处的不同阶段而有所不同。在交付执行前，由交付执行的人民法院决定；在交付执行后，若罪犯在监狱服刑，由省级以上监狱管理机关批准；若罪犯在看守所服刑，则由设区的市一级以上公安机关批准。这一制度旨在保障罪犯的合法权益，同时也确保了社会的安全和稳定。如果您有进一步的法律问题或需要更详细的解释，请直接向我咨询。