员工在公司连续做了15年，劳动合同到期后，公司通常应当续签，并且应当优先考虑与员工订立无固定期限劳动合同。以下是从不同角度对此问题的详细分析：

一、法律对无固定期限劳动合同的规定

根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条，劳动者在用人单位连续工作满十年的，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。这意味着，对于在公司连续工作15年的员工，如果其提出续订劳动合同，公司有义务与其签订无固定期限劳动合同。

二、公司不续签劳动合同的后果

1. 经济补偿： 如果公司决定不续签劳动合同（且不存在法定可解除劳动合同的情形），则需按照《劳动合同法》第四十六条、第四十七条的规定，向员工支付经济补偿。补偿标准按员工在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。这里的月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

2. 双倍工资处罚： 如果公司违反规定不续订无固定期限劳动合同，根据《劳动合同法》第八十二条，公司还需向员工支付双倍工资作为处罚。

三、特定情形下的劳动合同续延

根据《劳动合同法》第四十二条第五项，如果员工距法定退休年龄不足五年，即使劳动合同到期，也应续延至相应情形消失时终止。这意味着，在此情况下，公司必须续签劳动合同，且不能随意解除。

四、建议与注意事项

1. 提前沟通： 虽然法律并未强制要求公司在劳动合同到期不续签时必须提前通知员工，但出于人性化管理及避免纠纷的考虑，建议公司若决定不续签，应提前与员工沟通，以便其有足够时间寻找新工作并做好相应安排。

2. 遵守当地规定： 部分地方的司法实践或规章制度可能对劳动合同续签有额外要求，公司应遵守当地规定，避免因违反规定而承担法律责任。

3. 保留证据： 无论是公司还是员工，都应保留好与劳动合同续签相关的证据，如续签通知、经济补偿支付凭证等，以备不时之需。

总结来看，对于在公司连续工作满15年的员工，劳动合同到期后，公司通常应续签并优先考虑订立无固定期限劳动合同。若公司选择不续签，则必须依法承担支付经济补偿等责任，并可能面临双倍工资的处罚。如果您或您的公司遇到此类问题，欢迎直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。