结论：半个月没上班，公司是否可以开除，需结合具体情况判断，不能一概而论。以下分情况说明：

1. 若员工无正当理由缺勤，且未履行请假手续
   根据《劳动合同法》第三十九条，劳动者严重违反用人单位规章制度的，用人单位可以解除劳动合同。若公司规章制度明确规定“连续旷工X天或累计旷工X天属于严重违纪”，且该制度已通过民主程序制定并公示，员工半个月未上班可能构成“严重违纪”，公司有权依法解除劳动合同，无需支付经济补偿。
   关键点：公司需证明规章制度合法有效，且员工行为符合“严重违纪”条款。

2. 若员工因合理事由缺勤，但未及时补办请假手续
   若员工因突发疾病、家庭紧急情况等合理事由无法到岗，但未及时履行请假手续（如未提交病假证明、未联系上级报备），公司应先通过书面形式（如短信、邮件）催告员工返岗或补办手续。若员工仍不配合，公司可依据规章制度处理；但若员工能证明缺勤事由合理（如后续提交病假证明），公司直接开除可能被认定为违法解除，需支付赔偿金（2N）。
   关键点：公司需履行“催告”义务，员工需保留事由合理的证据。

3. 若员工因公司原因缺勤（如公司停工、未安排工作）
   若员工未上班是因公司未提供劳动条件（如停工待岗、未安排工作任务），则责任在公司。此时公司以“旷工”为由开除员工，属于违法解除，需支付赔偿金。
   关键点：员工需证明缺勤是公司原因导致（如停工通知、未安排工作的证据）。

4. 若员工处于医疗期、孕期等法定保护期
   根据《劳动合同法》第四十二条，员工在医疗期、孕期、产期、哺乳期等期间，公司不得以“旷工”为由解除劳动合同（除非员工存在严重过错，如故意自伤、犯罪等）。若员工半个月未上班是因患病需治疗，且处于法定医疗期内，公司开除属于违法解除。
   关键点：员工需提供医疗证明，证明缺勤与疾病治疗相关。

建议：

• 若您是员工，需保留缺勤事由的证据（如病假条、事故证明等），并尽快补办请假手续；若公司已发出解除通知，可要求公司出具书面理由，并咨询是否属于违法解除。
  
• 若您是公司，需确保规章制度合法有效，处理前履行催告程序，并区分缺勤原因（如是否为员工过错、是否处于保护期等），避免违法解除风险。
  

如有具体细节需进一步分析，可直接向我提问。