检察机关可以对法院既不受理也不答复当事人的起诉行政机关的行为进行监督。以下从不同角度对此问题进行分析：
一、法律依据
《人民检察院行政诉讼监督规则》的相关规定：
- 虽然该规则第五条主要列举了当事人可以向人民检察院申请监督的具体情形，如人民法院对生效判决、裁定、调解书驳回再审申请或者逾期未对再审申请作出裁定等，但其中蕴含的原则同样适用于法院对当事人起诉既不受理也不答复的情况。因为这种行为本质上也是一种对当事人诉讼权利的侵害，可能损害国家利益、社会公共利益或当事人的合法权益。
- 此外，《人民检察院行政诉讼监督规则(试行)》第五条第三项规定，认为审判程序中审判人员存在违法行为的，当事人可以向人民检察院申请监督。此处的审判程序应包括立案受理、开庭审理等一系列诉讼活动，而不局限于审理环节审判人员违法行为。因此，如果当事人提供的证据可以证明法院在立案环节存在违法行为的，检察机关可以监督。
《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定：
- 根据该法第九十三条，地方各级人民检察院对同级人民法院已经发生法律效力的判决、裁定，发现有违反法律规定的情形之一，或者发现调解书损害国家利益、社会公共利益的，可以向同级人民法院提出检察建议，并报上级人民检察院备案；也可以提请上级人民检察院向同级人民法院提出抗诉。虽然这一条款直接针对的是已生效的判决、裁定，但其中的原则同样适用于法院对起诉既不受理也不答复的违法行为，因为这也是对司法公正和当事人诉讼权利的侵害。
- 同时，各级人民检察院对审判监督程序以外的其他审判程序中审判人员的违法行为，有权向同级人民法院提出检察建议。这进一步明确了检察机关对审判程序各环节的监督权。
二、检察机关的监督方式
提出抗诉或检察建议：
- 检察机关在发现法院对当事人起诉既不受理也不答复的违法行为后，可以依法向法院提出检察建议，督促其纠正违法行为；必要时，也可以提请上级检察院向法院提出抗诉。
调查核实与跟进监督：
- 检察机关在收到当事人监督申请后，会进行必要的调查核实，如询问当事人、查阅案卷材料、调取相关证据等，以全面了解案件情况。
- 若发现法院确实存在既不受理也不答复的违法行为，检察机关将依法进行监督，并跟进监督结果，确保问题得到有效解决。
三、实际案例支持
在实际操作中，已有类似案例表明检察机关可以对法院既不受理也不答复的行为进行监督。例如，在某些行政公益诉讼案件中，检察机关发现法院对当事人的起诉未予处理或拖延处理，遂依法向法院发出检察建议，督促其尽快立案审理或作出相应裁定。这些案例充分说明了检察机关在行政诉讼监督中的重要作用和实际效果。
四、建议与后续行动
- 当事人应积极收集证据：如果当事人遇到法院既不受理也不答复其起诉行政机关的情况，应积极收集相关证据，如起诉状、提交材料的凭证、与法院的沟通记录等，以证明法院存在违法行为。
- 及时向检察机关申请监督：当事人可以向人民检察院申请监督，提交相关证据和材料，请求检察机关对法院的违法行为进行调查和纠正。
- 关注监督结果并跟进：在检察机关介入后，当事人应关注监督结果，并积极配合检察机关的工作。如果问题得到解决，当事人可以依法继续其诉讼程序；如果问题未得到解决，当事人可以考虑进一步通过法律途径维护自己的权益。
综上所述，检察机关可以对法院既不受理也不答复当事人的起诉行政机关的行为进行监督。当事人应积极收集证据，及时向检察机关申请监督，并关注监督结果。如果有任何法律问题，可以直接向我咨询。