当私人聘请护工后出现事故时，责任的承担需要依据具体情况来判断。以下是对这一问题的详细解答：

一、护工致他人损害的情况

如果护工在工作期间，由于自身过错（如疏忽、操作不当等）导致他人（如被照顾的老人或其他家庭成员）受到损害，那么依据《民法典》中关于个人劳务关系的规定，通常由接受服务的私人雇主承担责任。这是因为护工是在为雇主提供劳务的过程中造成他人损害的，雇主作为劳务的接受者，应当承担相应的风险。

然而，如果护工存在故意或者重大过失（如故意伤害、严重违反操作规程等），雇主在承担责任之后，有权向护工进行追偿。这是因为护工的故意或重大过失行为超出了正常劳务活动的范畴，护工应当对自己的行为负责。

二、护工自身受伤的情况

当护工在提供劳务时自己受伤，双方（雇主和护工）要根据各自的过错承担相应责任。

• 如果雇主提供的工作环境存在安全隐患（如地面湿滑、设备故障等），进而导致护工受伤，那么雇主就存在过错，需要承担相应的赔偿责任。
• 相反，如果是护工自身操作不当（如未按照安全规程操作、未佩戴安全防护装备等）而受伤，护工自己可能要承担部分责任。

三、第三人侵权致护工损害的情况

若护工是因为第三人的侵权行为（如交通事故、他人故意伤害等）而受到损害，护工既可以向第三人索赔，也能够请求雇主给予补偿。这是因为护工的损害是由第三人造成的，第三人应当承担侵权责任。同时，由于护工是在为雇主提供劳务的过程中受到损害的，雇主也可以根据情况给予护工适当的补偿。

雇主在给予补偿之后，有权向第三人进行追偿。这是因为雇主给予护工的补偿是基于劳务关系的考虑，而第三人的侵权行为才是造成护工损害的直接原因，第三人应当承担最终的赔偿责任。

举例说明

以小何聘请护工小丽为例：

1. 小丽在照顾老人过程中，因操作不当导致老人摔倒受伤。依据《民法典》关于个人劳务关系的规定，一般由雇主小何担责。若小丽存在故意或重大过失，小何担责后可向其追偿。
2. 小丽在工作时又因小何提供的卫生间地面湿滑而滑倒受伤。小何提供的工作环境有安全隐患，存在过错，应承担相应责任。
3. 小丽在外出采购老人用品时被小胡骑车撞倒。小丽可向小胡索赔，也可请求小何给予补偿。小何补偿后可向小胡追偿。

综上所述，私人聘请护工后出现事故时，责任的承担需要依据具体情况来判断。雇主和护工都应当了解自己的权利和义务，以便在事故发生时能够妥善处理。