商家确实可能存在一定责任，具体需结合购车时的约定和实际情况判断。以下是详细分析：

1. 从合同义务角度
   根据《民法典》第五百九十五条，买卖合同中出卖人（商家）有义务向买受人（您）交付标的物（三轮车）并转移所有权，同时应提供与标的物相关的必要单证和资料，发票属于法定必备单证之一。若购车时您已明确要求开具发票而商家拒绝，商家可能构成违约，需承担补开发票或赔偿损失的责任。

2. 从税务合规角度
   根据《发票管理办法》第十九条，商家销售商品时必须向消费者开具发票，这是法定义务。若商家未开具发票，可能面临税务机关的行政处罚（如罚款）。但需注意，税务处罚是商家与税务机关之间的行政关系，不直接影响您作为消费者的权利，您仍可要求商家补开发票。

3. 从消费者权益保护角度
   根据《消费者权益保护法》第二十二条，经营者提供商品或服务时，应按照国家规定或交易习惯向消费者出具发票等购货凭证。若商家未履行该义务，您有权要求其补开。若商家拒绝，您可向当地市场监督管理部门投诉（如12315），或通过诉讼要求商家履行义务。

4. 实务建议

   • 第一步：与商家协商，明确要求补开发票，并保留沟通记录（如微信、录音等）；
     
   • 第二步：若协商无果，向当地税务局举报商家未开具发票的行为（税务局有权责令补开并处罚）；
     
   • 第三步：若因未开发票导致您无法上牌、保修等损失，可要求商家赔偿实际损失（需提供证据，如维修费用、交通费等）。

温馨提示：发票是您维权的重要凭证（如质量纠纷、保修等），建议尽快通过合法途径要求商家补开。若需进一步协助，可直接向我咨询具体操作流程。