针对您描述的情况，员工在老板提出离职要求后第二天发生工伤，首先明确的是，员工有权依法享受工伤保险待遇，且老板不能因之前提出的离职要求而免除其应承担的责任。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
一、工伤保险待遇的享受
工伤认定：
- 根据《工伤保险条例》，员工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。您描述的情况中，员工手指头压断，显然是在工作时间和工作场所内因工作原因受伤，因此应认定为工伤。
工伤保险待遇：
- 认定为工伤后，员工有权享受工伤保险待遇，包括医疗费用报销、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等。这些待遇的享受不受老板之前提出的离职要求影响。
二、老板的责任与义务
不得因离职要求免除责任：
- 老板之前提出让员工做到招到工人就让离职，这并不构成合法的解除劳动合同理由。在员工发生工伤的情况下，老板不能因此免除其应承担的工伤保险责任和其他法律责任。
继续履行劳动合同或支付经济补偿：
- 如果老板希望解除与员工的劳动合同，必须依法进行，如与员工协商一致解除劳动合同，并支付相应的经济补偿。在员工发生工伤的情况下，老板更应谨慎处理，避免引发更大的法律纠纷。
三、法律建议与行动步骤
及时申请工伤认定：
- 员工或其家属应尽快向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请，以便及时享受工伤保险待遇。
与老板协商解决：
- 在工伤认定后，员工可以与老板就工伤保险待遇的支付等问题进行协商。如果协商不成，可以寻求法律援助或通过劳动争议仲裁途径解决。
保留证据：
- 员工应保留好与工伤相关的所有证据，如医疗记录、工伤认定决定书等，以便在需要时提供证明。
咨询专业律师（此条根据约束条件调整表述）：
- 如有需要，您可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议和帮助。
四、可能的法律后果
老板未依法支付工伤保险待遇：
- 如果老板未依法支付工伤保险待遇，员工有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求老板支付相应的待遇和赔偿。
老板违法解除劳动合同：
- 如果老板在员工发生工伤后违法解除劳动合同，员工除了有权要求支付工伤保险待遇外，还有权要求老板支付违法解除劳动合同的赔偿金。
综上所述，员工在老板提出离职要求后第二天发生工伤，仍然有权依法享受工伤保险待遇。老板不能因之前提出的离职要求而免除其应承担的责任。建议员工及时申请工伤认定，并与老板协商解决相关问题。如有需要，可以直接向我咨询以获取更详细的法律建议和帮助。