针对您提出的“消费者保护法下商家赠品不返还怎么办”的问题，以下是我为您提供的详细解答：

首先，需要明确的是，商家承诺赠品却未给予，这确实属于违约行为。根据《消费者权益保护法》以及《民法典》中关于合同的相关规定，消费者有权要求商家履行其赠送的承诺，或者进行相应的赔偿。

一、与商家协商

当您发现商家未按照承诺给予赠品时，第一步可以尝试与商家进行协商。明确表达您的诉求，要求商家履行赠送承诺或者提供相应的赔偿。在协商过程中，保持冷静和理性，尽量以书面形式（如邮件、短信等）记录下协商的内容和结果，以便后续维权。

二、向消协或市场监管部门投诉

如果与商家协商无果，您可以向当地的消费者协会（消协）或者市场监管部门进行投诉。在投诉时，需要提供详细的证据，包括购买凭证、商家承诺赠品的宣传资料、与商家的沟通记录等。相关部门会根据具体情况进行调查，并责令商家改正其违约行为，可能给予警告、罚款等处罚。

三、通过诉讼途径维权

如果投诉后问题仍未得到解决，您还可以考虑通过诉讼途径来维护自己的合法权益。您可以向法院提起民事诉讼，要求商家承担违约责任，并赔偿因未获得赠品而造成的损失。在诉讼过程中，需要准备充分的证据来支持自己的诉求。

四、关于商家虚假宣传赠品的后果

如果商家存在虚假宣传赠品的行为，即夸大赠品功效、数量或者价值等，以吸引消费者购买商品，那么商家还可能面临《反不正当竞争法》的规制。监管部门会根据情节轻重对商家进行罚款，情节严重的甚至可能吊销其营业执照。

五、其他注意事项

1. 在维权过程中，要注意保留好所有相关证据，以便在需要时提供证明。
2. 如果赠品存在质量问题或者与商家宣传不符，您还可以要求商家对赠品质量问题负责。
3. 在获取赔偿过程中，如果涉及赠品价值评估等细节问题，可以寻求专业机构或者人士的帮助。

综上所述，当商家承诺赠品却未给予时，您可以通过与商家协商、向消协或市场监管部门投诉、通过诉讼途径维权等方式来维护自己的合法权益。同时，也要注意保留好相关证据，并了解商家可能面临的法律后果。希望这些解答能够对您有所帮助。