在原告和被告都不申请司法鉴定的情况下，法院在特定情形下仍有权依职权启动鉴定程序，但在大多数情况下，法院会遵循当事人主义原则，不会自动进行司法鉴定。以下是对此问题的详细分析：
一、法院依职权启动司法鉴定的法律依据与情形
法律依据：
- 根据《民事诉讼法》第七十九条的规定，当事人未申请鉴定时，如人民法院认为案件中的专门性问题需要鉴定，应委托具备资格的鉴定人进行鉴定。
- 《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》第三十条也明确，人民法院在审理案件过程中认为待证事实需要通过鉴定意见证明的，应当向当事人释明，并指定提出鉴定申请的期间。符合《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民事诉讼法〉的解释》第九十六条第一款规定情形的，人民法院应当依职权委托鉴定。
具体情形：
- 当案件涉及医学、笔迹、工程造价、产品质量等专门性问题，且这些问题对查明案件事实真相、正确认定责任具有关键作用，同时超出了法官的专业知识和认知范围时，法院可能依职权启动司法鉴定。
- 在涉及可能有损国家利益、社会公共利益或者他人合法权益的事实，或涉及依职权追加当事人、中止诉讼、终结诉讼、回避等与实体争议无关的程序事项时，法院也可能自行依职权进行司法鉴定。
二、法院依职权启动司法鉴定的谨慎性与程序性要求
- 法院在依职权启动司法鉴定时通常较为谨慎，会综合考量多方面因素，如案件的性质、鉴定事项的必要性、鉴定成本等，确保启动鉴定程序确有必要。
- 法院需遵循法定的程序选择合适的鉴定机构进行鉴定，包括组织双方当事人协商确定鉴定人，协商不成的，由人民法院指定，以确保鉴定结果的公正性和客观性。
三、当事人主义原则与举证责任
- 民事诉讼实行的是当事人主义原则，即“谁主张谁举证”。因此，在一般情况下，当事人负有对其诉讼主张举证的义务，包括对需要鉴定的专门性问题提出鉴定申请。
- 如无上述法律规定的特定情形，法院通常不会主动进行司法鉴定，而是由当事人根据诉讼需要自行申请。如果当事人不及时申请鉴定，经法院释明后仍不主动申请鉴定，在待证事实无法查清时，将承担举证不能的不利后果。
四、建议
- 积极举证：当事人在诉讼过程中应积极举证，包括在必要时及时申请司法鉴定以支持自己的诉讼主张。
- 关注法院释明：如果法院认为需要鉴定但当事人未提出申请，法院会向当事人释明并指定提出鉴定申请的期间。当事人应关注法院的释明，并在指定期间内提出鉴定申请。
- 咨询专业律师：如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律建议。
综上所述，即使原告和被告都不申请司法鉴定，法院在特定情况下仍有权依职权启动鉴定程序。但为了更好地维护自身的合法权益，当事人在诉讼过程中应积极举证，并在必要时及时申请司法鉴定。