结论前置：在法律上，断绝母子关系的声明或行为是不被认可的，且不影响母亲犯罪行为的法律责任认定。无论母子关系如何变化，只要母亲实施了犯罪行为并达到法定责任年龄、具备刑事责任能力，就必须依法承担相应的法律责任。同时，子女在法律上仍有赡养、扶助和保护父母的义务。

一、法律责任认定

1. 独立性：犯罪行为的法律责任是由犯罪行为人个人承担的，与其是否声称与子女断绝关系无关。即使母亲声称已经断绝了与子女的亲属关系，她仍然需要对自己的犯罪行为负责。
2. 不受影响性：“断绝关系”这种声明或行为在我国法律体系中不具有法律效力。犯罪行为的判定依据是刑法等相关法律，与家庭关系的变化无直接关联。因此，母亲犯罪后，其法律责任不会因断绝母子关系而减轻或免除。

二、司法处理程序

1. 警方调查：母亲犯罪行为被发现后，公安机关会进行调查，收集相关证据，并根据调查结果决定是否移送审查起诉。
2. 检察院审查：案件移送至人民检察院后，检察院会根据证据和法律规定决定是否提起公诉。
3. 法院审判：如果被起诉，母亲需接受法院的审判。法院将依据犯罪事实、犯罪性质、情节和对社会的危害程度，依照法律的有关规定判处刑罚，包括主刑（如管制、拘役、有期徒刑、无期徒刑、死刑）和附加刑（如罚金、剥夺政治权利、没收财产）。

三、后续影响及家庭作用

1. 非监禁刑执行：在母亲服刑期间，特别是在一些非监禁刑执行期间（如缓刑、假释），家庭可以起到监督和帮助母亲改造的作用。但这并不改变母亲犯罪的法律事实和责任。
2. 未成年子女：若母亲犯罪时子女未成年，即使母亲声称与子女断绝关系，子女作为其直系亲属，仍可能受到一定影响，如心理、社会关系等方面。同时，如果母亲因犯罪而失去经济能力或生活困难，有经济负担能力的子女应依法尽力履行赡养义务。
3. 社会影响：母亲犯罪行为可能会对子女产生一定的社会影响，特别是当犯罪行为被公开报道时，子女可能会受到舆论的关注或质疑。但子女无需因此承担法律责任。

四、赡养义务

尽管母子关系无法通过法律手段解除，子女在法律上有赡养、扶助和保护父母的义务。这包括在经济上提供必要的生活用品和费用，以及在生活上、精神上、感情上对父母进行关心和照顾。如果母亲因犯罪而失去经济能力或生活困难，有经济负担能力的子女应依法尽力履行赡养义务。

总结：断绝母子关系的想法在法律上是不现实的，且不影响母亲犯罪行为的法律责任认定。每个人都应对自己的行为负责，并遵守法律法规。如果母亲犯罪，她必须依法承担相应的法律责任。同时，子女在法律上仍有赡养、扶助和保护父母的义务。如有任何法律问题，可以直接向我咨询。