针对您描述的情况，即对方声称被您家猫抓伤，但监控并未显示相关情况，您可以按照以下步骤处理：

1. 保持冷静，核实事实：

   • 首先，不要急于承认或否认责任，而是保持冷静，进一步核实对方所述是否属实。
   • 仔细查看监控录像，确认是否有遗漏或盲区，以及对方声称被抓伤的时间段内，猫是否确实不在监控范围内。

2. 与对方沟通，了解详情：

   • 尝试与对方进行友好沟通，了解其被猫抓伤的具体时间、地点、伤口情况等细节。
   • 询问对方是否有其他证据，如目击者、医疗记录等，以证明其所述的真实性。

3. 收集证据，准备应对：

   • 如果监控录像确实无法证明对方被猫抓伤，且对方无法提供其他有力证据，那么您无需承担不必要的责任。
   • 您可以考虑收集一些有利于自己的证据，如猫平时的行为记录、与邻居的沟通记录等，以证明猫通常不会攻击人。
   • 若对方坚持索赔且无合理依据，您有权拒绝，并告知对方将通过法律途径解决。

4. 考虑法律途径：

   • 如果对方持续纠缠或采取不当行为，如威胁、骚扰等，您可以考虑报警或寻求法律援助。
   • 在法律程序中，您需要提供监控录像等证据来证明自己的清白。同时，也可以要求对方提供其被猫抓伤的证据。
   • 根据《中华人民共和国民法典》第一千二百四十五条，饲养的动物造成他人损害的，动物饲养人或者管理人应当承担侵权责任；但是，能够证明损害是因被侵权人故意或者重大过失造成的，可以不承担或者减轻责任。因此，如果对方无法证明其被猫抓伤且您无过错，您无需承担责任。

5. 预防措施：

   • 为了避免类似纠纷再次发生，您可以考虑采取一些预防措施，如加强猫的管理、设置警示标志等。
   • 同时，也可以与邻居或社区管理人员沟通，共同维护良好的居住环境。

在处理此类纠纷时，务必保持理性、客观的态度，并依据事实和法律来维护自己的权益。如果您在处理过程中遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我将为您提供专业的法律建议和支持。