司机驾驶公司车辆发生事故后，确实有权起诉保险公司，但需满足一定条件并遵循相应流程。以下是对此问题的详细解答：

一、司机起诉保险公司的法律依据

根据《最高人民法院关于审理道路交通事故损害赔偿案件适用法律若干问题的解释》第十三条，以及《民法典》第一千二百一十三条的规定，当机动车发生交通事故造成损害，且属于该机动车一方责任时，赔偿顺序如下：

1. 交强险赔偿：先由承保机动车强制保险的保险人在强制保险责任限额范围内予以赔偿。
2. 商业险补充：不足部分，由承保机动车商业保险的保险人按照保险合同的约定予以赔偿。
3. 侵权人赔偿：仍然不足或者没有投保机动车商业保险的，由侵权人赔偿。

这意味着，如果司机驾驶的公司车辆已投保交强险和商业险，且事故责任属于该车辆一方，那么司机（或代表公司的利益相关方）有权在交强险和商业险的赔偿范围内向保险公司提起诉讼，要求赔偿。

二、司机起诉保险公司的条件

1. 直接利益相关：司机必须是事故的直接利益相关方，即事故对其造成了直接的经济损失或人身伤害。
2. 证据充分：司机需要准备充足的证据，证明保险公司未按照合同约定或法律规定进行赔偿，或者赔偿金额不足。
3. 起诉资格：根据《民事诉讼法》第一百二十二条，起诉必须符合下列条件：原告是与本案有直接利害关系的公民、法人和其他组织；有明确的被告；有具体的诉讼请求和事实、理由；属于人民法院受理民事诉讼的范围和受诉人民法院管辖。

三、司机起诉保险公司的流程

1. 准备证据：收集与事故相关的所有证据，包括事故认定书、医疗费用单据、车辆维修费用单据、保险合同等。
2. 提交起诉状：向有管辖权的法院提交起诉状，明确诉讼请求、事实和理由。
3. 参与诉讼：在法院受理案件后，积极参与诉讼过程，包括出庭、举证、质证等。
4. 等待判决：法院将根据事实和法律规定作出判决，司机需要等待判决结果并执行。

四、注意事项

1. 及时沟通：在起诉前，司机应尝试与保险公司进行沟通，看是否能够通过协商解决问题。
2. 法律咨询：如果对法律程序不熟悉，建议咨询专业律师，以获取更准确的法律建议。
3. 遵守法律：在整个过程中，司机应遵守法律规定，不得采取非法手段或行为。

综上所述，司机驾驶公司车辆发生事故后，在满足一定条件下，确实有权起诉保险公司以索求赔偿。但在此过程中，司机需要准备充足的证据，并遵循相应的法律程序。