结论前置：在申请法院再审后，若法院在3个月内未给予答复，申请人确实有权向检察院申请生效裁判监督，这一做法的法律依据主要来源于《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定。

具体法律依据与分析：

1. 《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定：

   • 根据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百一十六条：“有下列情形之一的，当事人可以向人民检察院申请检察建议或者抗诉：…（三）人民法院逾期未对再审申请作出裁定的；…”。这一条款明确规定了，在法院对再审申请逾期未作出裁定的情况下，当事人有权向人民检察院申请检察建议或者抗诉，即申请生效裁判监督。

2. 申请检察院生效裁判监督的流程与注意事项：

   • 流程：在法院逾期未对再审申请作出裁定后，申请人应准备相关材料，包括再审申请书、法院未予答复的证明等，向有管辖权的人民检察院提交申请。
   • 注意事项：
     • 时效性：虽然法律未明确规定申请检察院监督的具体时效，但建议申请人在发现法院逾期未答复后尽快申请，以免错过最佳时机。
     • 材料准备：申请人应确保提交的材料真实、完整，能够充分证明其申请再审的合法性和合理性，以及法院逾期未答复的事实。
     • 管辖权：申请人应向有管辖权的人民检察院提交申请，通常为作出原生效裁判的人民法院的同级人民检察院。

3. 可能面临的法律后果与建议：

   • 法律后果：若检察院认为申请有理，可能会向法院提出检察建议或者抗诉，从而促使法院重新审理案件。若检察院认为申请无理，则会驳回申请。
   • 建议：在申请检察院生效裁判监督前，申请人应充分评估自身案件的胜诉可能性，以及申请监督的必要性和合理性。同时，申请人也可以考虑寻求专业律师的帮助，以提高申请的成功率。

总结与进一步思考： 在申请法院再审后，若法院逾期未给予答复，申请人有权依据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定向检察院申请生效裁判监督。这一做法不仅为申请人提供了法律救济的途径，也体现了我国司法制度的公正性和透明性。然而，申请人在行使这一权利时，也应充分了解相关法律规定和流程，确保自身权益得到有效维护。若您在此过程中遇到任何法律问题或困惑，可以直接向我咨询，我将竭诚为您提供专业的法律服务。