对生效刑事判决不服申请检察机关监督的，可以依据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定提出申请。具体分析如下：

一. 法律依据

• 《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百五十二条：当事人及其法定代理人、近亲属，对已经发生法律效力的判决、裁定，可以向人民法院或者人民检察院提出申诉，但是不能停止判决、裁定的执行。这一条款明确规定了当事人及其法定代理人、近亲属对生效刑事判决不服时，有权向人民检察院提出申诉。

二. 申诉条件与处理

• 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，当事人及其法定代理人、近亲属的申诉符合一定条件的，人民检察院应当重新审判。这些条件包括但不限于：有新的证据证明原判决、裁定认定的事实确有错误，可能影响定罪量刑的；据以定罪量刑的证据不确实、不充分、依法应当予以排除，或者证明案件事实的主要证据之间存在矛盾的；原判决、裁定适用法律确有错误的等。

三. 实际操作建议

• 准备充分证据：在提出申诉前，建议当事人及其法定代理人、近亲属尽可能收集新的证据，或者找出原判决、裁定中存在的错误，以支持自己的申诉请求。
• 遵循法定程序：提出申诉时，应严格按照法律规定的程序进行，包括提交申诉书、提供相关证据材料等。
• 保持沟通：在申诉过程中，可以与人民检察院保持沟通，了解申诉的进展情况，以及是否需要补充证据或材料。

综上所述，对生效刑事判决不服时，当事人及其法定代理人、近亲属可以依据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定向人民检察院提出申诉。在提出申诉时，应准备充分的证据，遵循法定程序，并与人民检察院保持沟通。如有进一步需要，您可以继续咨询我。