法院不立案申请检察院监督的法律依据主要来源于《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关的司法解释和规定。以下是对此问题的详细解答：
一、法律依据
《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百一十三条：
- 该条款明确规定，人民检察院认为公安机关对应当立案侦查的案件而不立案侦查的，或者被害人认为公安机关对应当立案侦查的案件而不立案侦查，向人民检察院提出的，人民检察院应当要求公安机关说明不立案的理由。
- 这一条款为检察院对公安机关不立案行为进行监督提供了直接的法律依据。
《关于人民法院办理执行异议和复议案件若干问题的规定》及相关司法解释：
- 虽然这些规定主要针对的是执行异议和复议案件，但其中涉及的法院不立案或超期未作出异议裁定的情形，与检察院对法院不立案行为的监督有相似之处。
- 特别是当法院对执行异议不立案时，同级检察院有权进行监督，这体现了检察院在司法活动中的广泛监督权。
《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释：
- 在民事案件中，如果法院对执行异议不立案，检察院同样有权进行监督。
- 《中华人民共和国民事诉讼法》第二百四十六条规定：“人民检察院有权对民事执行活动实行法律监督。”这为检察院在民事执行活动中的监督权提供了法律基础。
二、监督方式与程序
要求说明不立案理由：
- 当检察院发现法院对应当立案的案件而不立案时，会向法院发出要求说明不立案理由的通知。
- 法院在收到通知后，应当在规定时间内书面答复检察院，说明不立案的具体理由。
审查不立案理由并通知立案：
- 检察院会对法院的不立案理由进行审查。
- 如果认为法院的不立案理由不能成立，检察院会发出通知立案书，要求法院在规定时间内决定立案，并将立案决定书送达检察院。
后续跟踪与督促：
- 在发出通知立案书后，检察院会继续跟进案件的进展情况。
- 如果法院在规定时间内未予立案或未将立案决定书送达，检察院有权采取进一步的措施，如提出纠正意见等。
三、监督的意义与效果
保障当事人权益：
- 检察院的监督可以促使法院依法履行立案职责，确保案件得到及时、有效的处理。
- 这有助于保护当事人的合法权益，防止因法院不立案而导致的诉讼权利受损。
维护社会公平正义：
- 检察院的监督可以防止和纠正法院有案不立、有罪不究等问题。
- 这有助于维护社会的公平正义，增强人民群众对司法公正的信任感。
促进司法规范化：
- 检察院的监督可以推动法院提高执法水平，规范执法行为。
- 这有助于提升法院的公信力和形象，促进司法规范化建设。
在实际操作中，如果遇到法院不立案的情况，当事人可以向同级检察院提出监督申请。检察院在受理申请后，会按照上述方式和程序进行监督，确保案件得到依法、公正的处理。如果您在此过程中遇到任何法律问题，可以直接向我咨询，我会为您提供专业的法律建议。