检察院刑事立案监督受到不予立案答复后可以申诉的法律依据主要来源于《中华人民共和国刑事诉讼法》及《人民检察院刑事诉讼规则》的相关规定。以下是对此问题的详细解答：
《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定：
- 第一百一十三条：明确规定了人民检察院对公安机关立案活动的监督权。具体而言，当人民检察院认为公安机关对应当立案侦查的案件而不立案侦查，或者被害人认为公安机关对应当立案侦查的案件而不立案侦查并向人民检察院提出的，人民检察院应当要求公安机关说明不立案的理由。若人民检察院认为公安机关不立案理由不能成立的，应当通知公安机关立案，公安机关接到通知后应当立案。这一条款直接赋予了人民检察院在公安机关不予立案情况下的监督权，并明确了被害人向人民检察院提出申诉的权利。
《人民检察院刑事诉讼规则》的相关规定：
- 第五百五十七条：进一步细化了被害人及其法定代理人、近亲属或者行政执法机关，认为公安机关对其控告或者移送的案件应当立案侦查而不立案侦查，或者当事人认为公安机关不应当立案而立案，向人民检察院提出的，人民检察院应当受理并进行审查。这一条款明确了人民检察院在受理此类申诉时的职责和程序。
- 第五百五十八条至第五百六十一条：详细规定了人民检察院在受理申诉后，如何要求公安机关说明不立案或立案的理由，如何进行审查，以及根据审查结果作出相应决定的程序。具体包括：人民检察院负责控告申诉检察的部门受理申诉后，应根据事实、法律进行审查，认为需要公安机关说明不立案或立案理由的，应及时将案件移送负责捕诉的部门办理；负责捕诉的部门会要求公安机关书面说明不立案或立案的理由，并进行审查；若认为公安机关不立案或立案理由不能成立的，经检察长决定，会通知公安机关立案或撤销案件；若认为公安机关立案或立案决定正确的，会制作相关法律文书，答复控告人、申诉人。
法律建议：
- 若您作为被害人或其法定代理人、近亲属，认为公安机关对应当立案侦查的案件而不立案侦查，可以向人民检察院提出申诉，要求监督并纠正公安机关的不当行为。
- 在提出申诉时，应准备充分的证据材料，如控告的证据、公安机关作出的不予立案通知书等，以支持您的申诉请求。
- 人民检察院在受理您的申诉后，会依法进行审查，并要求公安机关说明不立案的理由。若人民检察院认为公安机关不立案理由不能成立，会通知公安机关立案，从而保障您的合法权益。
可能产生的法律后果：
- 若人民检察院认为公安机关不立案理由不能成立，并通知公安机关立案，公安机关必须依法立案，否则可能面临法律责任。
- 若您作为申诉人，在申诉过程中提供虚假证据或材料，可能面临法律责任，如被追究诬告陷害罪等。
综上所述，检察院刑事立案监督受到不予立案答复后可以申诉的法律依据主要来源于《中华人民共和国刑事诉讼法》及《人民检察院刑事诉讼规则》的相关规定。若您遇到此类情况，可以向人民检察院提出申诉，以维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。