行政案件申请检察院监督的法律依据主要包括《中华人民共和国行政诉讼法》和《人民检察院行政诉讼监督规则》。

一. 法律依据

1. 《中华人民共和国行政诉讼法》

   • 监督职责：第九条明确规定，“人民检察院在行政诉讼中履行法律监督职责。”这为检察院监督行政诉讼案件提供了直接的法律依据。
   • 监督方式：第九十三条进一步规定了监督的具体方式，包括抗诉和检察建议。对于符合法定情形的生效判决、裁定或调解书，检察院可以提出抗诉或检察建议。

2. 《人民检察院行政诉讼监督规则》

   • 监督范围与程序：该规则全面规定了检察院对行政诉讼活动的监督范围，包括生效行政判决、裁定、调解书，以及审判程序中审判人员的违法行为等。同时，详细规定了监督的程序，如受理、审查、调查核实及作出监督决定等，确保监督活动依法有序进行。

二. 申请监督的具体情形与期限

• 当事人可以向人民检察院申请行政诉讼监督的情形包括：人民法院驳回再审申请或逾期未对再审申请作出裁定，当事人认为行政判决、裁定、调解书确有错误；认为再审行政判决、裁定确有错误；认为行政审判程序中审判人员存在违法行为；认为人民法院行政案件执行活动存在违法情形等。
• 申请监督的期限一般为人民法院送达驳回再审申请裁定之日或再审判决、裁定发生法律效力之日起六个月内，但也有一些特殊情况下的期限规定。

综上所述，行政案件申请检察院监督的法律依据是明确的，并且规定了具体的监督方式、范围、程序以及申请监督的情形与期限。当事人在符合法定条件的情况下，可以向人民检察院申请行政诉讼监督，以维护自己的合法权益。如有进一步需要，您可以继续咨询我。