行政检察监督申请书的法律依据主要包括以下几个方面：
《中华人民共和国人民检察院组织法》的相关规定：
- 根据《中华人民共和国人民检察院组织法》第二十条，人民检察院行使的职权包括对行政诉讼活动实行法律监督。这一条款为人民检察院对行政诉讼活动进行监督提供了明确的法律依据，也是行政检察监督申请书得以提出的基础。
《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定：
- 《中华人民共和国行政诉讼法》第九十三条明确规定了人民检察院对行政诉讼的监督权。具体来说，最高人民检察院对各级人民法院已经发生法律效力的判决、裁定，上级人民检察院对下级人民法院已经发生法律效力的判决、裁定，发现有本法第九十一条规定情形之一，或者发现调解书损害国家利益、社会公共利益的，应当提出抗诉。地方各级人民检察院对同级人民法院已经发生法律效力的判决、裁定，发现有本法第九十一条规定情形之一，或者发现调解书损害国家利益、社会公共利益的，可以向同级人民法院提出检察建议，并报上级人民检察院备案；也可以提请上级人民检察院向同级人民法院提出抗诉。这一条款详细规定了人民检察院在行政诉讼中的监督方式和程序，为行政检察监督申请书的提出提供了具体的法律依据。
《人民检察院行政诉讼监督规则》的相关规定：
- 《人民检察院行政诉讼监督规则》进一步细化了人民检察院在行政诉讼中的监督职责和程序。例如，该规则明确了当事人可以向人民检察院申请监督的情形，包括人民法院驳回再审申请或者逾期未对再审申请作出裁定，当事人认为再审判决、裁定确有错误，以及认为人民法院审判活动存在违法情形等。这些规定为当事人提出行政检察监督申请提供了明确的指引和依据。
在撰写行政检察监督申请书时，除了依据上述法律法规外，还需注意以下几点：
- 明确申请监督的理由和事实依据：申请书应详细阐述申请监督的具体理由，包括认为人民法院判决、裁定或调解书存在的错误或违法情形，以及这些错误或违法情形对当事人权益的具体影响。同时，应提供充分的事实依据和证据材料来支持申请理由。
- 遵循法定程序和格式要求：申请书应按照法定程序和格式要求撰写，包括申请人信息、被申请人信息、申请监督的具体请求、事实与理由、证据材料等。确保申请书的格式规范、内容完整、逻辑清晰。
- 注意申请时效和管辖规定：根据相关法律法规的规定，申请行政检察监督有一定的时效限制和管辖规定。申请人应在规定的时效内提出申请，并按照规定的管辖级别和地域向相应的人民检察院提出申请。
若您在撰写行政检察监督申请书过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我将根据您的具体情况，提供专业的法律意见和帮助。