行政履职监督申请的法律依据主要来源于《中华人民共和国行政诉讼法》及相关司法解释，具体包括以下几个方面：
《中华人民共和国行政诉讼法》的直接规定：
- 该法第十二条第一款第（六）项明确规定，公民、法人或者其他组织申请行政机关履行保护人身权、财产权等合法权益的法定职责，行政机关拒绝履行或者不予答复的，属于人民法院行政诉讼的受案范围。这为行政履职监督申请提供了直接的法律依据，即当行政机关不履行其法定职责时，公民、法人或其他组织有权通过法律途径进行监督。
《中华人民共和国行政诉讼法》关于起诉条件的规定：
- 根据该法第四十九条，提起诉讼应当符合下列条件：…（三）有具体的诉讼请求和事实根据；…。在行政履职监督申请中，申请人需要明确指出行政机关未履行或未正确履行的具体职责，并提供相应的事实依据，如相关法律法规、行政机关的承诺或先前行为等，以证明其申请的合理性。
相关司法解释对行政履职监督的细化：
- 最高人民法院发布的关于行政诉讼的司法解释中，对行政机关不履行法定职责的情形进行了进一步细化，包括行政机关拒绝履行、拖延履行、不完全履行等。这些司法解释为申请人提供了更具体的指导，帮助其明确申请监督的范围和条件。
行政程序法中的相关规定：
- 除了《中华人民共和国行政诉讼法》外，一些行政程序法（如《中华人民共和国行政处罚法》、《中华人民共和国行政许可法》等）中也包含了关于行政机关履行职责的规定。这些规定同样可以作为行政履职监督申请的法律依据，特别是当涉及特定行政行为时。
法律建议与操作要点：
- 明确申请对象与内容：在提出行政履职监督申请时，应明确指出具体的行政机关及其未履行的法定职责，避免模糊或泛泛而谈。
- 提供充分证据：申请人应收集并整理相关证据，如法律法规、行政机关的承诺文件、先前行为记录等，以证明行政机关未履行或未正确履行其职责。
- 遵循法定程序：申请人应按照法律规定的程序进行申请，如先向行政机关提出书面申请，等待其答复；若行政机关不予答复或答复不满意，再依法向人民法院提起诉讼。
- 注意时效限制：根据法律规定，行政诉讼有一定的起诉期限。申请人应在知道或应当知道行政机关不履行法定职责之日起一定期限内（如六个月）提起诉讼，以免丧失诉讼权利。
可能的法律后果：
- 若申请人能够证明行政机关未履行或未正确履行其法定职责，且符合起诉条件，人民法院将受理其申请，并可能判决行政机关履行相应职责或承担其他法律责任。
- 若申请人未能提供充分证据或不符合起诉条件，其申请可能被人民法院驳回。
总结与进一步思考：
行政履职监督申请是公民、法人或其他组织维护自身合法权益的重要途径。在提出申请时，申请人应充分了解相关法律依据和操作要点，确保申请的合法性和有效性。同时，申请人也应关注可能的法律后果，做好充分的准备和应对。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。