民事案件申请检察院监督的法律依据主要来源于《中华人民共和国民事诉讼法》以及《人民检察院民事诉讼监督规则》的相关规定。以下是对这一问题的详细解答：
《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百一十五条，地方各级人民检察院对同级人民法院已经发生法律效力的判决、裁定，发现有本法第二百零七条规定情形之一的，或者发现调解书损害国家利益、社会公共利益的，可以向同级人民法院提出检察建议，并报上级人民检察院备案；也可以提请上级人民检察院向同级人民法院提出抗诉。
- 这一条款明确了检察院对民事案件进行监督的法律依据，即当法院的判决、裁定存在法定情形，或者调解书损害国家利益、社会公共利益时，检察院有权进行监督。
《人民检察院民事诉讼监督规则》的相关规定：
- 《人民检察院民事诉讼监督规则》进一步细化了检察院对民事案件进行监督的具体程序和要求。例如，该规则规定了当事人向人民检察院申请监督的条件、期限、提交的材料等，以及人民检察院受理、审查、决定监督等各个环节的具体操作流程。
- 具体来说，根据《人民检察院民事诉讼监督规则》第二十一条，当事人认为人民法院已经发生法律效力的民事判决、裁定、调解书符合《中华人民共和国民事诉讼法》第二百一十六条第一款规定的情形之一的，可以向人民检察院申请监督。同时，该规则还规定了申请监督的期限一般为三年，但特定情形下可以延长。
在申请检察院监督时，当事人需要注意以下几点：
- 确保申请符合法定条件：即法院的判决、裁定存在法定情形，或者调解书损害国家利益、社会公共利益。
- 准备充分的申请材料：包括申请书、相关证据材料等，以证明自己的申请符合法定条件。
- 遵守申请期限：一般来说，申请监督的期限为三年，但特定情形下可以延长。当事人应在法定期限内提出申请，以免丧失申请监督的权利。
若当事人对法院的判决、裁定或调解书有异议，且认为符合检察院监督的条件，可以向人民检察院申请监督。在申请过程中，当事人应详细了解相关法律规定和程序要求，确保申请的合法性和有效性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律意见。