关于民事案件强制执行申请检察院监督执行的法律依据，我可以明确地告诉你，其法律依据主要来源于《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定。

结论前置：根据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百三十五条，人民检察院有权对民事执行活动实行法律监督。这是民事执行检察监督的法律依据，也是当事人、利害关系人、案外人认为人民法院执行活动存在违法情形时，可以向同级人民检察院申请监督的法律基础。

详细分析：

1. 申请监督的情形：

   • 执行裁定、决定违法，如裁定追加、变更被执行人错误，执行裁定所确定的内容与执行依据不符等。
   • 执行行为存在违法情形，如调查、搜查违法，保管、使用被执行财产违法，无正当理由未及时将被执行人财产交付给申请执行人等。
   • 不履行或怠于履行职责，如不受理执行申请又不依法作出不予受理裁定，对已经受理的执行案件不依法作出执行裁定，无正当理由超过六个月未执行等。
   • 执行人员存在违法行为，如执行人员违反回避规定，执行人员有贪污、受贿、执行失职、执行滥用职权等行为等。

2. 申请监督的主体：

   • 当事人、利害关系人、案外人认为人民法院执行生效民事判决、裁定、调解书、支付令、仲裁裁决以及公证债权文书等法律文书的活动或者具体执行实施行为存在违法情形的，均可以向同级人民检察院申请监督。

3. 申请监督的材料：

   • 民事执行监督申请书。
   • 身份证明，自然人需提交身份证复印件或户口簿个人页复印件，法人或非法人组织需提交相关主体资格证明。
   • 相关法律文书，主要为法院历次裁判文书复印件。
   • 其余与本案相关的证据材料（需附上证据清单）。

4. 检察机关的监督方式：

   • 向同级法院提出检察建议。
   • 作出不支持监督申请决定。
   • 移送相关部门处理，如发现执行人员存在违法犯罪线索，移送本院控告检察部门处理；如发现被执行人涉嫌构成拒不执行判决、裁定罪且公安机关不予立案侦查的，移送本院侦查监督部门处理。
   • 作出终结审查决定。

综上所述，民事案件强制执行申请检察院监督执行的法律依据是《中华人民共和国民事诉讼法》第二百三十五条。在符合申请监督的情形下，当事人、利害关系人、案外人可以向同级人民检察院申请监督，并需提交相应的申请材料。检察机关将依法对申请进行审查，并采取相应的监督措施。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。