结论前置：检察院对刑事执行的法律监督的法律依据主要源自《中华人民共和国宪法》、《中华人民共和国刑事诉讼法》以及相关的司法解释和规范性文件。

一、宪法依据

• 《中华人民共和国宪法》第一百三十四条：明确规定中华人民共和国人民检察院是国家的法律监督机关。这一条款为检察院对刑事执行进行法律监督提供了根本的宪法依据，确立了检察院作为法律监督者的地位。

二、刑事诉讼法依据

• 《中华人民共和国刑事诉讼法》第八条：指出人民检察院依法对刑事诉讼实行法律监督。这一条款确立了检察院在刑事诉讼中的监督角色，包括对刑事执行的监督。
• 《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百二十四条：虽然该条款主要规定了适用速裁程序审理案件的相关内容，但其中也体现了人民检察院对刑事诉讼活动，包括刑事执行活动的监督职责。

三、相关司法解释及规范性文件依据

• 《人民检察院刑事诉讼规则》：该规则中包含了关于检察院对刑事执行活动进行监督的具体规定，如监督的方式、程序、要求等，为检察院开展刑事执行监督工作提供了详细的操作指南。
• 《中华人民共和国人民检察院组织法》第十九条：也规定了人民检察院对刑事判决、裁定执行情况的监督权，这一条款进一步强化了检察院对刑事执行活动的法律监督职责。

四、具体监督内容

检察院对刑事执行的法律监督主要涵盖以下几个方面：

1. 对交付执行的裁判进行监督，确保判决、裁定已发生法律效力，并关注一审宣告被告人无罪或免除刑罚的判决执行情况。
2. 对监狱、看守所等执行机关的刑罚执行活动进行监督，包括收押、管理、教育、改造、减刑、假释等各个环节，确保刑罚执行的合法性和公正性。
3. 对社区矫正机构的社区矫正活动进行监督，确保社区矫正对象依法接受矫正，维护社会稳定。

综上所述，检察院对刑事执行的法律监督的法律依据是一个由宪法、刑事诉讼法及其相关司法解释和规范性文件构成的完整体系。这些法律法规不仅明确了检察院对刑事执行活动的监督权力和职责，还规范了监督的程序和要求，为检察院依法行使刑事执行监督职权提供了坚实的法律保障。