结论：在未签订租赁合同且仅居住一天的情况下，能否退回全部1万元房租，需视具体情况而定，但通常难以全额退还。
一、未签订租赁合同的影响
合同关系的认定：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，租赁合同是出租人将租赁物交付承租人使用、收益，承租人支付租金的合同。虽然双方未签订书面合同，但如果存在口头约定且实际履行了（如支付租金、交付房屋等），则可能构成事实上的租赁关系。
合同条款的缺失：
- 未签订书面合同意味着双方未就租赁期限、租金支付方式、退租条件等关键条款进行明确约定。这可能导致在退租时，双方对退还租金的金额和方式产生争议。
二、退租与租金退还的法律依据
合同解除权：
- 如果双方构成事实上的租赁关系，承租人（您）有权在合理期限内通知出租人（房东）解除合同。但解除合同并不意味着可以全额退还已支付的租金。
租金退还原则：
- 租金退还通常遵循“按实际使用天数计算”的原则。即，根据您实际居住的天数，按照约定的日租金标准计算应支付的租金，剩余部分应退还给您。但具体计算方式可能因双方约定或地方习惯而有所不同。
房东的抗辩权：
- 房东可能主张您已实际使用了房屋，即使只居住了一天，也应支付相应的租金。此外，房东还可能主张因您提前退租而造成的损失（如重新寻找租客的费用、房屋空置期间的损失等），并要求您承担部分或全部责任。
三、实际操作建议
与房东协商：
- 首先，尝试与房东进行友好协商，说明您的退租原因和希望退还的租金金额。在协商过程中，可以引用上述法律依据和原则，争取达成一个双方都能接受的解决方案。
收集证据：
- 如果协商无果，您需要收集相关证据以支持您的主张。这些证据可能包括支付租金的凭证、与房东的沟通记录（如短信、微信聊天记录等）、房屋的实际使用情况等。
寻求法律援助：
- 如果房东拒绝退还租金或双方无法就退还金额达成一致，您可以考虑寻求法律援助或咨询专业律师。律师可以根据您的具体情况和当地法律法规，为您提供更具体的法律建议和解决方案。
四、可能面临的法律后果
部分租金退还：
- 在大多数情况下，法院或仲裁机构可能会根据双方的实际履行情况和公平原则，判决房东退还您部分租金。具体退还金额将取决于您实际居住的天数、日租金标准以及房东因您提前退租而遭受的损失等因素。
承担违约责任：
- 如果法院或仲裁机构认定您构成违约（如未经房东同意擅自退租），您可能需要承担一定的违约责任。这可能包括支付违约金、赔偿房东因您提前退租而遭受的损失等。
总结与建议：在未签订租赁合同且仅居住一天的情况下，您难以全额退还已支付的1万元房租。建议您首先与房东进行友好协商，争取达成一个双方都能接受的解决方案。如果协商无果，您可以考虑收集相关证据并寻求法律援助或咨询专业律师。在处理此类纠纷时，请务必保持冷静和理性，避免采取过激行为导致矛盾升级。如有任何法律问题，可以直接向我咨询。