针对您提出的“劳务派遣单位员工自杀在用工单位，死亡赔偿由谁出”的问题，这需要结合具体情况和相关法律法规来综合判断。以下是我的详细分析：
一、自杀行为是否构成工伤
一般情况下：
- 自杀行为通常不被视为工伤。根据《工伤保险条例》的规定，工伤是指在工作过程中因工作原因受到的伤害。而自杀行为往往与个人心理、情感等因素有关，与工作无直接关联。
特殊情况下：
- 如果能证明自杀行为与工作有直接关联，例如因工作过度压力、工作环境恶劣等导致员工精神崩溃而自杀，那么理论上可能构成工伤。但这种情况在司法实践中极为罕见，且需要充分的证据支持。
二、赔偿责任的划分
不属于工伤的情况：
- 如果自杀行为不被认定为工伤，那么赔偿责任的划分将依据过错原则。即，如果用工单位或劳务派遣单位对员工的自杀行为存在过错（如长期忽视员工心理健康、未提供必要的心理支持等），则可能需要承担相应的赔偿责任。但这种责任更多是基于侵权责任，而非工伤保险责任。
- 若用工单位或劳务派遣单位无过错：则一般不需承担赔偿责任。但出于人道主义考虑，用工单位或劳务派遣单位可能会给予一定的经济援助或抚慰。
属于工伤的情况（极罕见）：
- 如果自杀行为被认定为工伤，那么赔偿责任的划分将依据工伤保险的相关规定。即，如果劳务派遣单位为员工依法缴纳了工伤保险费，那么相关待遇（如丧葬补助金、供养亲属抚恤金等）将由工伤保险基金支付。
- 若未缴纳工伤保险：则上述费用由劳务派遣单位承担。同时，如果用工单位存在过错（如提供的工作环境存在安全隐患等），劳务派遣单位在赔偿后可能依据劳务派遣协议要求用工单位承担相应责任。
三、实际操作中的建议
及时申请工伤认定：
- 如果员工家属认为自杀行为与工作有关，并希望获得工伤保险赔偿，应及时向社会保险行政部门申请工伤认定。但需注意，自杀行为被认定为工伤的情况极为罕见。
协商与调解：
- 在责任划分不明确或存在争议的情况下，建议用工单位和劳务派遣单位与员工家属进行协商和调解。通过友好沟通，寻求双方都能接受的解决方案。
法律途径：
- 如果协商和调解无果，员工家属可以选择通过法律途径来维护自己的权益。例如，向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼。
总结：劳务派遣单位员工自杀在用工单位的死亡赔偿问题，需要结合具体情况和相关法律法规来综合判断。在大多数情况下，自杀行为不被视为工伤，赔偿责任的划分将依据过错原则。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。