关于教师病假计算的问题，核心结论需结合具体法律法规和单位制度综合判断，以下分情况说明：

1. 病假累计计算规则
   根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》（虽针对企业，但事业单位可参照），医疗期（即病假合法期限）通常按劳动者工作年限确定。例如：

   • 工作年限10年以下，医疗期为3个月（6个月内累计）；
     
   • 工作年限10年以上，医疗期为6个月（12个月内累计）。
     若教师工作年限在10年以下，前后半年各请3个月病假，可能已超过6个月内累计3个月的医疗期上限，超出部分可能按事假或无薪假处理。

2. 单位规章制度的影响
   学校或教育部门可能制定内部病假管理细则，例如：

   • 要求提供三甲医院诊断证明；
     
   • 规定单次病假最长不超过X个月；
     
   • 明确连续病假与间歇性病假的计算方式（如是否合并计算）。
     若单位规定“一年内病假累计不得超过6个月”，则前后半年各3个月可能触发警告或解聘条款。

3. 特殊情形：慢性病或长期治疗
   若教师因慢性病（如癌症、精神疾病）需长期治疗，可能适用《关于本市劳动者在履行劳动合同期间患病或者非因工负伤的医疗期标准的规定》中“特殊疾病医疗期延长”条款。例如：

   • 实际工作年限10年以上，医疗期可延长至24个月；
     
   • 需提供专项医疗证明并经单位认可。
     若符合条件，前后半年各3个月病假可能被认定为合理医疗期。

建议行动：

1. 核对劳动合同、学校规章制度中关于病假的具体条款；
   
2. 整理病历、诊断证明等材料，确认是否符合“长期治疗”或“特殊疾病”条件；
   
3. 若单位以“超期病假”为由处理，可要求出具书面依据并申请复核。
   

如有进一步细节（如工作年限、单位规定内容），可补充说明后继续为您分析。