教师请病假期间寒暑假的计算方式需结合具体法律法规、学校规章制度及病假与寒暑假的时间重叠情况综合判断，通常分为以下两种情形：

1. 病假期间完全覆盖寒暑假
   若教师病假起始时间早于寒暑假开始日，且结束时间晚于寒暑假结束日，则寒暑假期间一般不计入病假天数。根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》及教育系统相关实施细则，医疗期（病假）计算以实际工作日为准，寒暑假作为法定休息日不纳入医疗期累计。例如，教师自6月1日开始休3个月病假，而寒暑假为7月1日至8月31日，则实际病假天数仅计算6月1日至6月30日及9月1日至病假结束日，寒暑假期间不扣减病假额度。

2. 病假期间部分与寒暑假重叠
   若病假起始或结束时间位于寒暑假期间内，则需分段计算病假天数。具体而言：

   • 病假起始于寒暑假前：寒暑假前已休病假天数计入医疗期，寒暑假期间暂停计算；寒暑假结束后继续休病的，从复工首日起重新累计医疗期。
     
   • 病假起始于寒暑假期间：寒暑假期间休病假的，需根据学校规章制度判断是否计入医疗期。部分地区教育部门规定，寒暑假期间因病需治疗的，可凭医疗机构证明申请延长医疗期，但需经学校及主管部门审批；若未获批，则寒暑假期间病假可能按事假处理，影响工资待遇。

关键依据与建议：

• 法律依据：医疗期计算参照《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》（劳部发〔1994〕479号），但教育系统可能制定地方性实施细则，需结合当地政策。
  
• 学校制度：部分学校在《教职工考勤管理办法》中明确规定，寒暑假期间病假不占用医疗期，但需提交病历、诊断证明等材料备案。
  
• 操作建议：教师休病假前应向学校人事部门确认医疗期计算规则，保留完整医疗证明；若寒暑假期间需继续治疗，及时申请延长医疗期并履行审批手续，避免权益受损。
  

如有具体案例或地区政策差异，可进一步提供信息以便针对性分析。