工作人员被客户的狗咬伤，责任归属需根据具体情况判断，以下分情况说明：

1. 客户作为动物饲养人或管理人的责任

根据《中华人民共和国民法典》第一千二百四十五条，动物饲养人或管理人应当对动物造成的损害承担侵权责任。若客户的狗咬伤工作人员，且客户未尽到管理义务（如未拴绳、未采取安全措施），客户通常需承担主要责任。
例外情形：若工作人员存在故意挑逗、攻击狗的行为，导致被咬伤，客户可能减轻或免除责任。

2. 用人单位的责任

若工作人员在执行工作任务时被咬伤，用人单位可能需承担工伤责任。根据《工伤保险条例》，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应认定为工伤。
关键点：

• 需证明咬伤事件与工作任务直接相关（如工作人员在为客户服务时被咬）。
  
• 用人单位需按工伤保险流程申报赔偿，包括医疗费、误工费等。

3. 第三方场所的责任

若咬伤事件发生在第三方场所（如商场、物业管辖区域），且场所管理者未尽到安全保障义务（如未设置警示标识、未采取隔离措施），可能需承担补充责任。
法律依据：
根据《民法典》第一千一百九十八条，经营场所、公共场所的经营者、管理者未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。

4. 责任分担的常见情形

• 客户全责：客户未管理好狗，且工作人员无过错。
  
• 客户与工作人员按份责任：如工作人员存在轻微过错（如未保持安全距离），可能减轻客户责任。
  
• 客户与第三方共同责任：如场所管理者未尽到安全义务，与客户按过错比例分担责任。

法律建议

1. 及时固定证据：

   • 现场照片、视频（如狗未拴绳、工作人员受伤情况）。
     
   • 证人证言（如同事、客户在场证明）。
     
   • 医疗记录（诊断证明、治疗费用单据）。
     

2. 协商或诉讼路径：

   • 协商：优先与客户、用人单位或场所管理者沟通赔偿事宜。
     
   • 诉讼：若协商无果，可向法院起诉，主张医疗费、误工费、精神损害抚慰金等。
     

3. 工伤申报流程：

   • 用人单位应在30日内向社保部门提出工伤认定申请。
     
   • 若用人单位未申请，工作人员或其近亲属可在1年内直接申请。
     

总结：责任归属需结合具体场景判断，客户作为饲养人通常承担主要责任，但用人单位或场所管理者可能因未尽义务而分担责任。建议优先固定证据，通过协商或法律途径维护权益。如有进一步疑问，可直接向我咨询。