结论前置：针对您在私企工作，第一次合同到期后未被要求续签第二次合同的情况，您可能享有以下权益和应对策略。

1. 确认合同到期情况与未续签原因：

   • 首先，您需要确认第一次劳动合同的具体到期日期，以及公司未提出续签的具体原因。这有助于您判断公司是否存在违法行为或是否只是管理疏忽。
   • 如果公司未给出明确原因，您可以主动与公司人力资源部门沟通，了解未续签的具体情况，并表达您希望继续工作的意愿。

2. 分析公司可能存在的法律责任：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满后，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，用人单位终止固定期限劳动合同的，应当向劳动者支付经济补偿。
   • 如果公司未与您续签劳动合同，且未支付经济补偿，那么公司可能违反了劳动合同法的规定，您有权要求公司支付相应的经济补偿。

3. 采取的应对措施：

   • 与公司协商：您可以尝试与公司进行协商，要求公司支付经济补偿或续签劳动合同。在协商过程中，保持冷静和理性，明确表达您的诉求和依据。
   • 申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司支付经济补偿或确认劳动关系等。在申请劳动仲裁时，您需要准备相关证据，如劳动合同、工资单、工作证等，以证明您与公司存在劳动关系以及公司未支付经济补偿的事实。
   • 提起诉讼：如果对劳动仲裁结果不满意，您还可以向人民法院提起诉讼，要求公司承担相应的法律责任。

4. 注意事项：

   • 在处理此类问题时，您需要保留好所有与工作相关的证据，如劳动合同、工资单、工作记录等，以备不时之需。
   • 同时，您需要关注劳动仲裁和诉讼的时效问题，确保在规定的期限内提出申请或提起诉讼。

总结与建议：面对合同到期后未被要求续签的情况，您应首先确认合同到期情况与未续签原因，然后分析公司可能存在的法律责任，并采取相应的应对措施。如果您在处理过程中遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供有针对性的法律建议。